Обработка наружных внутренних конических поверхностей. Способы получения конических поверхностей. Обработка центровых отверстий

Растачивают конические отверстия обычно путем поворота верхней части суппорта на нужный угол. Расточной резец устанавливают в резцедержатель по центру оси станка и закрепляют. Поворотную часть суппорта вместе с резцом располагают под нужным углом к оси центров станка и закрепляют.

После чистового растачивания отверстия на конус его развертывают конической разверткой соответствующей конусности. Конические отверстия выгоднее обрабатывать непосредственно после сверления набором специальных разверток, имеющих одну и ту же конусность.

Применяют последовательно три развертки — черновую, получистовую и чистовую.

Черновой разверткой снимают самый большой припуск. Чтобы облегчить работу черновой развертки, ее режущие кромки делают ступенчатыми, с круглыми канавками для дробления стружки. Канавки располагают по винтовой линии. Обработанная черновой разверткой поверхность обычно грубая, с винтовыми бороздками на стенках.

Получистовая развертка, в отличие от черновой, имеет на режущих кромках более мелкие канавки для дробления стружки. Благодаря этому обработанная поверхность получается более чистой, но винтовые бороздки на стенках остаются.

Чистовую развертку изготовляют с цельными прямолинейными режущими кромками. Ею придают отверстию окончательные размеры и гладкую поверхность.

Вопросы

1. Как обрабатывают большие конические отверстия?
2. Для чего служит черновая развертка?
3. Каково назначение получистовой и чистовой разверток?
4. Какая разница между получистовой и чистовой развертками?

Контроль обработки конических поверхностей

В массовом производстве конические поверхности проверяют нерегулируемыми или регулируемыми шаблонами.

Диаметры пологих конических поверхностей проверяют штангенциркулем или микрометром (в зависимости от точности обработанной детали).

Наружные конусы проверяют калибрами-втулками.

Контролируют наружную коническую поверхность так. Калибр-втулку надевают на проверяемую поверхность конуса детали. Если калибр не качается — значит, конусность выполнена правильно.

Точнее контроль конусности по окраске. Для контроля тонкий слой краски равномерно наносят на проверяемую поверхность конуса детали. Затем на конус детали надевают калибр-втулку и поворачивают на пол-оборота. Если краска удаляется с поверхности конуса детали неравномерно, это говорит о неточности и необходимо конус исправить.

Стирание краски у меньшего диаметра конуса покажет, что угол уклона конуса мал, и, наоборот, стирание краски у большего диаметра покажет, что угол уклона конуса велик.

Диаметры наружного конуса проверяют тем же калибром-втулкой. При надевании втулки на правильно обработанный конус его торец должен совпадать с риской на срезанной части втулки.

Если торец конуса не дойдет до риски, необходима дальнейшая его обработка; если, наоборот, торец конуса перешел риску, деталь бракуют.

Конические отверстия контролируют калибрами-пробками.

Делают это так. Калибр-пробку, имеющую две риски, вводят, легко нажимая, в отверстие и замечают, не качается ли калибр в отверстии. Отсутствие качания показывает, что угол уклона конуса правильный.

Убедившись в этом, приступают к проверке диаметров конического отверстия. Для этого наблюдают, до какого места калибр войдет в проверяемое отверстие. Если конец отверстия совпадет с одной из рисок или же находится между рисками калибра, размеры конуса правильны. Когда обе риски калибра войдут в отверстие, это показывает, что диаметр отверстия больше заданного. Если обе риски окажутся вне отверстия, его диаметр меньше требуемого.

Вопросы

1. Каким инструментом проверяют наружные конические поверхности?
2. Как контролируют наружные конические поверхности калибром-втулкой и по окраске?
3. Каким инструментом проверяют конические отверстия?
4. Как контролируют конические отверстия калибром-пробкой?

«Слесарное дело», И.Г.Спиридонов,
Г.П.Буфетов, В.Г.Копелевич

В шестом и седьмом классах вы познакомились с различными работами, выполняемыми на токарном станке (например, наружное цилиндрическое точение, отрезание деталей, сверление). Многие заготовки, обрабатываемые на токарных станках, могут иметь наружную или внутреннюю коническую поверхность. Детали с конической поверхностью широко используют в машиностроении (например, шпиндель сверлильного станка, хвостовики сверл, центры токарного станка, отверстие пиноли задней бабки)….

Широкими резцами обрабатывают конусы длиной до 20 мм на жестких деталях. При этом добиваются высокой производительности, но чистота и точность обработки невысокие. Обрабатывают конусную поверхность так. Заготовку зажимают в патроне передней бабки. Обработка конической поверхности широким резцом Обрабатываемый конец заготовки должен выступать из патрона не более 2,0 — 2,5 диаметра заготовки. Главную режущую кромку резца…

При обработке конических поверхностей возможны следующие виды брака: неправильная конусность, отклонения в размерах конуса, отклонения в размерах диаметров оснований при правильной конусности, непрямолинейность образующей конической поверхности. Неправильная конусность получается главным образом из-за неточно установленного резца, неточного поворота верхней части суппорта. Проверив установку корпуса задней бабки, верхней части суппорта перед началом обработки, можно предотвратить этот вид…

В наличии на складе!
Высокая производительность, удобство, простота в управлении и надежность в эксплуатации.

Сварочные экраны и защитные шторки - в наличии на складе!
Защита от излучения при сварке и резке. Большой выбор.
Доставка по всей России!

Общие сведения о конусах

Коническая поверхность характеризуется следующими параметрами (рис. 4.31): меньшим d и большим D диаметрами и расстоянием l между плоскостями, в которых расположены окружности диаметрами D и d. Угол а называется углом наклона конуса, а угол 2α - углом конуса.

Отношение K= (D - d)/l называется конусностью и обычно обозначается со знаком деления (например, 1:20 или 1:50), а в некоторых случаях - десятичной дробью (например, 0,05 или 0,02).

Отношение Y= (D - d)/(2l) = tgα называется уклоном.

Способы обработки конических поверхностей

При обработке валов часто встречаются переходы между поверхностями, имеющие коническую форму. Если длина конуса не превышает 50 мм, то его обработку можно производить врезанием широким резцом. Угол наклона режущей кромки резца в плане должен соответствовать углу наклона конуса на обработанной детали. Резцу сообщают поперечное движение подачи.

Для уменьшения искажения образующей конической поверхности и уменьшения отклонения угла наклона конуса необходимо устанавливать режущую кромку резца по оси вращения обрабатываемой детали.

Следует учитывать, что при обработке конуса резцом с режущей кромкой длиной более 15 мм могут возникнуть вибрации, уровень которых тем выше, чем больше длина обрабатываемой детали, меньше ее диаметр, меньше угол наклона конуса, чем ближе расположен конус к середине детали, чем больше вылет резца и меньше прочность его закрепления. В результате вибраций на обрабатываемой поверхности появляются следы и ухудшается ее качество. При обработке широким резцом жестких деталей вибрации могут отсутствовать, но при этом возможно смещение резца под действием радиальной составляющей силы резания, что приводит к нарушению настройки резца на требуемый угол наклона. (Смещение резца зависит от режима обработки и направления движения подачи.)

Конические поверхности с большими уклонами можно обрабатывать при повороте верхних салазок суппорта с резцедержателем (рис. 4.32) на угол α, равный углу наклона обрабатываемого конуса. Подача резца производится вручную (рукояткой перемещения верхних салазок), что является недостатком этого метода, поскольку неравномерность ручной подачи приводит к увеличению шероховатости обработанной поверхности. Указанным способом обрабатывают конические поверхности, длина которых соизмерима с длиной хода верхних салазок.

Коническую поверхность большой длины с углом α= 8... 10° можно обрабатывать при смещении задней бабки (рис. 4.33)

При малых углах sinα ≈ tgα

h≈L(D-d)/(2l),

где L - расстояние между центрами; D - больший диаметр; d - меньший диаметр; l - расстояние между плоскостями.

Если L = l, то h = (D-d)/2.

Смещение задней бабки определяют по шкале, нанесенной на торце опорной плиты со стороны маховика, и риске на торце корпуса задней бабки. Цена деления на шкале обычно 1 мм. При отсутствии шкалы на опорной плите смещение задней бабки отсчитывают по линейке, приставленной к опорной плите.

Для обеспечения одинаковой конусности партии деталей, обрабатываемых этим способом, необходимо, чтобы размеры заготовок и их центровых отверстий имели незначительные отклонения. Поскольку смещение центров станка вызывает износ центровых отверстий заготовок, рекомендуется обработать конические поверхности предварительно, затем исправить центровые отверстия и после этого произвести окончательную чистовую обработку. Для уменьшения разбивки центровых отверстий и износа центров целесообразно последние выполнять со скругленными вершинами.

Достаточно распространенной является обработка конических поверхностей с применением копирных устройств. К станине станка крепится плита 7 (рис. 4.34, а) с копирной линейкой 6, по которой перемещается ползун 4, соединенный с суппортом 1 станка тягой 2 с помощью зажима 5. Для свободного перемещения суппорта в поперечном направлении необходимо отсоединить винт поперечного движения подачи. При продольном перемещении суппорта 1 резец получает два движения: продольное от суппорта и поперечное от копирной линейки 6. Поперечное перемещение зависит от угла поворота копирной линейки 6 относительно оси 5 поворота. Угол поворота линейки определяют по делениям на плите 7, фиксируя линейку болтами 8. Движение подачи резца на глубину резания производят рукояткой перемещения верхних салазок суппорта. Наружные конические поверхности обрабатывают проходными резцами.

Способы обработки внутренних конических поверхностей

Обработку внутренней конической поверхности 4 заготовки (рис. 4.34, б) производят по копиру 2, установленному в пиноли задней бабки или в револьверной головке станка. В резцедержателе поперечного суппорта устанавливают приспособление 1 с копирным роликом 3 и остроконечным проходным резцом. При поперечном перемещении суппорта копирный ролик 3 в соответствии с профилем копира 2 получает продольное перемещение, которое через приспособление 1 передается резцу. Внутренние конические поверхности обрабатывают расточными резцами.

Для получения конического отверстия в сплошном материале заготовку сначала обрабатывают предварительно (сверлят, растачивают), а затем окончательно (развертывают). Развертывание выполняют последовательно комплектом конических разверток. Диаметр предварительно просверленного отверстия на 0,5... 1 мм меньше заходного диаметра развертки.

Если требуется коническое отверстие высокой точности, то его перед развертыванием обрабатывают коническим зенкером, для чего в сплошном материале сверлят отверстие диаметром на 0,5 мм меньше, чем диаметр конуса, а затем применяют зенкер. Для уменьшения припуска под зенкерование иногда применяют ступенчатые сверла разного диаметра.

Обработка центровых отверстий

В деталях типа валов часто выполняют центровые отверстия, которые используют для последующей токарной и шлифовальной обработки детали и для восстановления ее в процессе эксплуатации. На основании этого центровку выполняют особенно тщательно.

Центровые отверстия вала должны находиться на одной оси и иметь одинаковые конусные отверстия на обоих торцах независимо от диаметров концевых шеек вала. При невыполнении этих требований снижается точность обработки и увеличивается износ центров и центровых отверстий.

Конструкции центровых отверстий приведены на рис. 4.35. Наибольшее распространение имеют центровые отверстия с углом конуса 60°. Иногда в тяжелых валах этот угол увеличивают до 75 или 90°. Для того чтобы вершина центра не упиралась в заготовку, в центровых отверстиях выполняют цилиндрические углубления диаметром d.

Для защиты от повреждений центровые отверстия многократного использования выполняют с предохранительной фаской под углом 120° (рис. 4.35, б).

Для обработки центровых отверстий в небольших заготовках применяют различные методы. Заготовку закрепляют в самоцентрирующем патроне, а в пиноль задней бабки вставляют сверлильный патрон с центровочным инструментом. Центровые отверстия больших размеров обрабатывают сначала цилиндрическим сверлом (рис. 4.36, а), а затем однозубой (рис. 4.36, б) или многозубой (рис. 4.36, в) зенковкой. Центровые отверстия диаметром 1,5... 5 мм обрабатывают комбинированными сверлами без предохранительной фаски (рис. 4.36, г) и с предохранительной фаской (рис. 4.36, д).

Центровые отверстия обрабатывают при вращающейся заготовке; движение подачи центровочного инструмента осуществляют вручную (от маховика задней бабки). Торец, в котором обрабатывают центровое отверстие, предварительно подрезают резцом.

Необходимый размер центрового отверстия определяют по углублению центровочного инструмента, используя лимб маховика задней бабки или шкалу пиноли. Для обеспечения соосности центровых отверстий деталь предварительно размечают, а длинные детали при зацентровке поддерживают люнетом.

Центровые отверстия размечают с помощью угольника.

После разметки производят накернивание центрового отверстия. Если диаметр шейки вала не превышает 40 мм, то можно производить накернивание центрового отверстия без предварительной разметки с помощью приспособления, показанного на рис. 4.37. Корпус 1 приспособления устанавливают левой рукой на торце вала 3 и ударом молотка по кернеру 2 намечают центр отверстия.

Если в процессе работы конические поверхности центровых отверстий были повреждены или неравномерно изношены, то допускается их исправление резцом. В этом случае верхнюю каретку суппорта поворачивают на угол конуса.

Контроль конических поверхностей

Конусность наружных поверхностей измеряют шаблоном или универсальным угломером. Для более точных измерений применяют калибры-втулки (рис. 4.38), с помощью которых проверяют не только угол конуса, но и его диаметры. На обработанную поверхность конуса карандашом наносят две-три риски, затем на измеряемый конус надевают калибр-втулку, слегка нажимая на нее и поворачивая ее вдоль оси. При правильно выполненном конусе все риски стираются, а конец конической детали находится между метками А и В.

При измерении конических отверстий применяют калибр-пробку. Правильность обработки конического отверстия определяется (как и при измерении наружных конусов) взаимным прилеганием поверхностей детали и калибра-пробки. Если тонкий слой краски, нанесенный на калибр-пробку, сотрется у малого диаметра, то угол конуса в детали велик, а если у большого диаметра - угол мал.

Наружные и внутренние конусы длиной до 15 мм обрабатывают резцом 1, главная режущая кромка которого устанавливается под требуемым углом а к оси конуса, осуществляя продольную или поперечную подачу (рис. 30, а). Этот способ применяется в том случае, когда обрабатываемая заготовка жесткая, угол уклона конуса большой, а к точности угла уклона конуса, шероховатости поверхности и прямолинейности образующей не предъявляют высоки требований.

Рис. 30.

Внутренние и наружные конусы небольшой длины (но длиннее 15 мм) при любом угле наклона обрабатывают при повернутых верхних салазках (рис. 30,б). Верхние салазки суппорта 1 устанавливают под углом в осевой линии станка, равным углу уклона обтачиваемого конуса, по делениям на фланце 2 поворотной части суппорта. Угол поворота отчитывается от риски, нанесенной на поперечных салазках суппорта.

Обработка наружных конусов при смещенной задней бабке применяется для заготовок относительно большой длины с малым углом уклона (рис. 30, в). Заготовку 2 при этом закрепляют только в центрах 1. Учитывая неизбежность износа центровых поверхностей даже при малых углах уклона конуса, обработку ведут резцом 3 в два приема. Сначала обрабатывают конус начерно. Затем производят подправку центровых отверстий. После этого осуществляется чистовое обтачивание. Для уменьшения разработки центровых отверстий в таких случаях успешно применяют центры с вершинами в виде шаровой поверхности. Поперечное смещение задней бабки допускается обычно не более чем на 1/5 часть длины заготовки.

Обтачивание наружных и внутренних конических поверхностей при помощи универсальной копирной линейки применяется при обработке заготовок любой длины с малым углом уклона конуса, примерно до 12° (рис. 30, г). Копирная линейка 1 устанавливается на плите 5 параллельно образующей обтачиваемой конической поверхности, верхняя часть суппорта 4 при этом поворачивается на 90°. Отсчет угла поворота линейки при наладке производится по делениям (миллиметровым или угловым), нанесенным на плите 5. Плита крепится при помощи кронштейнов к станине станка. После поворота линейки вокруг оси на требуемый угол а она закрепляется гайкой 6. В пазу линейки расположена ползушка 7, жестко соединенная с поперечными салазками 2 суппорта. При точении резец вместе с суппортом перемещается в продольном направлении и под действием ползушки, скользящей в прорези линейки,— в поперечном направлении. При этом будет обтачиваться коническая поверхность с углом при вершине 2а. Угол поворота линейки должен быть равен углу уклона конуса. Если шкала линейки имеет миллиметровые деления, то поворот линейки определяется по одной из следующих формул:

где h — число миллиметровых делений шкалы копирной линейки; Н — расстояние от оси вращения линейки до ее торца, на котором нанесена шкала; D — наибольший диаметр конуса; d—наименьший диаметр конуса; tga — угол наклона конуса; К —конусность

(К= (D-d)/l); l — длина конуса.

При а>12° используют так называемый комбинированный метод обработки, при котором угол наклона разбивается на два угла: a1 =11—12°; a2 =a - a1. Копирную линейку устанавливают на угол a1 = 12°; а заднюю бабку смещают для обработки конической поверхности с углом наклона a2=a— 12°.

Способ обработки конических поверхностей при помощи копирной линейки достаточно универсален и обеспечивает высокую точность, а наладка линейки удобна и производится быстро.

Независимо от способа обработки конуса резец устанавливают точно на высоте центров станка.

Цель работы

1. Знакомство с методами обработки конических поверхностей на токарных станках.

2. Анализ достоинств и недостатков методов.

3. Выбора способа изготовления конической поверхности.

Материалы и оборудование

1. Токарно-винторезный станок модели ТВ-01.

2. Необходимый набор гаечных ключей, режущего инструмента, угломеры, штангенциркуль, заготовки изготавливаемых деталей.

Порядок выполнения работы

1. Прочитайте внимательно основные сведения по теме работы и разберитесь в общих сведениях о конических поверхностях, способах их обработки с учетом основных достоинств и недостатков.

2. С помощью учебного мастера ознакомьтесь со всеми способами обработки конических поверхностей на токарно-винторезном станке.

3. Выполните индивидуальное задание преподавателя по выбору способа изготовления конических поверхностей.

1. Название и цель работы.

2. Схема прямого конуса с указанием основных элементов.

3. Описание основных методов обработки конических поверхностей с приведением схем.

4. Индивидуальное задание с приведением расчетов и обоснования выбора того или иного метода обработки.

Основные положения

В технике часто используются детали с наружными и внутренними коническими поверхностями, например, конические шестерни, ролики конических подшипников. Инструменты для обработки отверстий (сверла, зенкеры, развертки) имеют хвостовики со стандартными конусами Морзе; шпиндели станков имеют конусную расточку под хвостовики инструментов или оправок и т. п.

Обработка деталей с конической поверхностью связана с образованием конуса вращения или усеченного конуса вращения.

Конусом называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими некоторую неподвижную точку с точками окружности в основании конуса.

Неподвижная точка называется вершиной конуса .

Отрезок, соединяющий вершину и любую точку на окружности, называется образующей конуса.

Осью конуса , называется перпендикуляр, соединяющий вершину конуса с основанием, а образующийся отрезок прямой является высотой конуса .

Конус считается прямым или конусом вращения , если ось конуса проходит через центр окружности в его основании.

Плоскость, перпендикулярная оси прямого конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом вращения .

Усеченный конус характеризуется следующими элементами (рис. 1):

1. D и d – диаметры и большего именьшего оснований конуса;

2. l –высота конуса, расстояние между основаниями конуса;

3. угол конуса 2a – угол между двумя образующими, лежащими в одной плоскости, проходящей через ось конуса;

4. угол уклона конуса a – угол между осью и образующей конуса;

5. уклон У – тангенс угла уклона У = tg a = (D –d )/(2l ) , который обозначается десятичной дробью (например: 0,05; 0,02);

6. конусность – определяется по формуле k = (D –d )/l , и обозначается с использованием знака деления (например, 1:20; 1:50 и т. д.).

Конусность численно равна удвоенному уклону.

Перед размерным числом, определяющим уклон, наносят знак Ð, острый угол которого направлен в сторону уклона. Перед числом, характеризующим конусность, наносят знак, острый угол которого должен быть направлен в сторону вершины конуса.

В массовом производстве на станках-автоматах для точения конических поверхностей используются копировальные линейки на один неизменный угол наклона конуса, который может изменяться только при переналадке станка с другой копировальной линейкой.

В единичном и мелкосерийном производстве на станках с ЧПУ точение конических поверхностей с любым углом конуса при вершине осуществляется подбором соотношения скоростей продольной и поперечной подачи. На станках, не оснащенных ЧПУ, обработка конических поверхностей может быть произведена четырьмя способами, перечисленными ниже.

К коническим относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по криволинейной направляющей т. Особенностью образования конической поверхности является то, что

Рис. 95

Рис. 96

при этом одна точка образующей всегда неподвижна. Эта точка является вершиной конической поверхности (рис. 95, а). Определитель конической поверхности включает вершину S и направляющую т, при этом l "~S; l "^ т.

К цилиндрическим относятся поверхности, образованные прямой образующей /, перемещающейся по криволинейной направляющей т параллельно заданному направлению S (рис. 95, б). Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай конической поверхности с бесконечно удаленной вершиной S.

Определитель цилиндрической поверхности состоит из направляющей т и направления S, образующих l , при этом l" || S; l" ^ т.

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны плоскости проекций, то такую поверхность называют проецирующей. На рис. 95, в показана горизонтально проецирующая цилиндрическая поверхность.

На цилиндрической и конической поверхностях заданные точки строят с помощью образующих, проходящих через них. Линии на поверхностях, например линия а на рис. 95, в или горизонтали h на рис. 95, а, б, строятся с помощью отдельных точек, принадлежащих этим линиям.

Поверхности вращения

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i.

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор.определяет горизонтальный очерк поверхности, если i _|_ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали hэтой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h 4 .

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка A на поверхности сферы принадлежит главному

Рис. 103

Рис. 104

меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис. 105, б). Открытый тор называется еще кольцом.

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. 97, 98). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис. 104, б). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Рис. 105

Рис. 106

Чтобы получить круговой конус (см. рис. 104, а), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходит через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. 101) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

Вопрос 22

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

2z=x 2 /p+y 2 /q

Если p и q одного знака, то параболоид называется эллиптическим.

если разного знака, то параболоид называется гиперболическим.

если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Эллиптический параболойд

2z=x 2 /p+y 2 /q

Эллиптический параболойд если p=q

2z=x 2 /p+y 2 /q

Гиперболический параболойд

2z=x 2 /p-y 2 /q

Параболический цилиндр 2z=x 2 /p(или 2z=y 2 /q)

Вопрос23

Вещественное линейное пространство называется Эвклидовым , если в нем определена операция скалярного умножения : любым двум векторам x и y сопоставлено вещественное число (обозначаемое (x,y) ), и это соответственно удовлетворяет следующим условиям, каковы бы ни были векторы x,y и z и число C:

2. (x+y , z)=(x , z)+(y , z)

3. (Cx , y)= C(x, y)

4. (x, x)>0 , если x≠0

Простейшие следствия из вышеуказанных аксиом:

1. (x, Cy)=(Cy, x)=C(y, x) следовательно всегда (X, Cy)=C(x, y)

2. (x, y+z)=(x, y)+ (x, z)

3. ()= (x i , y)

()= (x , y k)