Шаблон функции y x в квадрате. Квадратичная и кубическая функции
Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним ее стандартный вид:
отсюда очевидное принципиальное отличие - в линейной функции х стоит в первой степени, а в той новой функции, к изучению которой мы приступаем, х стоит во второй степени.
Напомним, что графиком линейной функции является прямая линия, а графиком функции , как мы увидим, является кривая, называемая параболой.
Начнем с того, что выясним, откуда появилась формула . Объяснение таково: если нам задан квадрат со стороной а , то площадь его мы можем вычислить так:
Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.
Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция
Напомним, что переменная х - это независимая переменная, или аргумент, в физической интерпретации это может быть, например, время. Расстояние это наоборот зависимая переменная, оно зависит от времени. Зависимой переменной или функцией называется переменная у .
Это закон соответствия, согласно которому каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у .
Любой закон соответствия должен удовлетворять требованию единственности от аргумента к функции. В физической интерпретации это выглядит достаточно понятно на примере зависимости расстояния от времени: в каждый момент времени мы находимся на каком-то конкретном расстоянии от начального пункта, и невозможно одновременно в момент времени t находится и в 10 и в 20 километрах от начала пути.
В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.
Итак, нам нужно построить график функции , для этого составить таблицу. Потом по графику исследовать функцию и ее свойства. Но уже до построения графика по виду функции мы можем кое-что сказать о ее свойствах: очевидно, что у не может принимать отрицательных значений, так как
Итак, составим таблицу:
Рис. 1
По графику несложно отметить следующие свойства:
Ось у - это ось симметрии графика;
Вершина параболы - точка (0; 0);
Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;
На промежутке, где функция убывает, а на промежутке, где функция возрастает;
Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;
Наибольшего значения функции не существует;
Пример 1
Условие:
Решение:
Поскольку х по условию изменяется на конкретном промежутке, можем сказать о функции, что она возрастает и изменяется на промежутке . Функция имеет на этом промежутке минимальное значение и максимальное значение
Рис. 2. График функции y = x 2 , x ∈
Пример 2
Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:
Решение:
х изменяется на промежутке , значит у убывает на промежутке пока и возрастает на промежутке пока .
Итак, пределы изменения х , а пределы изменения у , а, значит, на данном промежутке существует и минимальное значение функции , и максимальное
Рис. 3. График функции y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.