Чему равна центробежная сила формула. Вращательное движение. Примеры центробежной и центростремительной силы

Центробежная сила - сила инерции, возникающая при вращении тела и направленная от центра оси вращения. Центробежная сила является силой инерции.

Система отсчета, вращающаяся относительно инерциальной системы отсчета с угловой скоростью

r является неинерциальной системой отсчета.

Рассмотрим пример такой неинерциальной системы отсчета. На рисунке изображен вращающийся с угловой скоростью r диск, на котором находится тело массой m. Тело относительно диска покоится.

Относительно инерциальной системы отсчета (относительно точки О, относительно Земли)

тело движется по окружности и его ускорение равно ar n = ar u , которое направлено к центру окружности.

Теперь рассмотрим движение тел по отношению к системам отсчета, вращающимся относительно инерциальных систем. Выясним, какие силы инерции действуют в этом случае. Ясно, что это будет более сложно, так как разные точки таких систем имеют разные ускорения относительно инерциальных систем отсчета.

Начнём со случая, когда тело покоится относительно вращающейся системы отсчета. В этом случае сила инерции должна уравновешивать все силы, действующие на тело со стороны других тел. Пусть система вращается с угловой скоростью w, а тело расположено на расстоянии r от оси вращения и находится в равновесии в этой точке. Для того чтобы найти результирующую сил, действующих на тело со стороны других тел, можно, как и в § 128, рассмотреть движение тела относительно инерциальной системы. Это движение есть вращение с угловой скоростью w по окружности радиуса r. Согласно § 119 результирующая сила направлена к оси по радиусу и равна mw2r, где m - масса тела. Эта сила может быть вызвана натяжением нити (вращение грузика на нити), силой тяготения (движение планет вокруг Солнца), упругостью других тел (упругость рельсов при движении вагона по закруглению) и т. п.

Результирующая сила не зависит от того, в какой системе отсчета рассматривается данное движение. Но относительно нашей неинерциальной системы тело покоится. Значит, сила инерции уравновешивает эту результирующую, т. е. равна массе тела, умноженной на ускорение той точки системы, где находится тело, и направлена противоположно этому ускорению. Таким образом, сила инерции также равна mw2r, но направлена по радиусу от оси вращения. Эту силу называют центробежной силой инерции. Силы, действующие со стороны других тел на тело, покоящееся относительно вращающейся системы отсчета, уравновешиваются центробежной силой инерции.

В отличие от сил инерции в поступательно движущихся системах, центробежная сила инерции для тела данной массы зависит от точки, в которой расположено тело, и по модулю и по направлению: центробежная сила инерции направлена по радиусу, проходящему через тело, и для заданной угловой скорости пропорциональна расстоянию от тела до оси вращения.

Вследствие вращения Земли на ней также должна наблюдаться центробежная сила инерции (которой мы до сих пор пренебрегали). мы нашли, что центростремительное ускорение на экваторе равно 0,034 м/с?. Это составляет примерно 1/300 часть ускорения свободного падения g. Значит, на тело массы m, находящееся на экваторе, действует центробежная сила инерции, равная mg/300 и направленная от центра, т. е. по вертикали вверх. Эта сила уменьшает вес тела по сравнению с силой притяжения Земли на 1/300 часть. Так как на полюсе центробежная сила инерции равна нулю, то при перенесении тела с полюса на экватор оно «потеряет» вследствие вращения Земли 1/300 часть своего веса. На других широтах центробежная сила инерции будет меньше, изменяясь пропорционально радиусу параллели, на которой расположено тело. Из рисунка видно, что всюду, кроме экватора и полюсов, центробежная сила инерции направлена под углом к направлению на центр Земли, отклоняясь от него в сторону экватора. В результате сила тяжести mg, представляющая собой результирующую силы притяжения к Землей центробежной силы инерции, оказывается отклоненной от направления на центр Земли в сторону экватора.

В действительности, как показал опыт, потеря веса тела при перенесении его с полюса на экватор составляет не 1/300 часть его веса, а больше: около 1/190 части. Это объясняется тем, что Земля не шар, а слегка сплюснутое тело, и поэтому сила тяжести на полюсе оказывается несколько больше, чем на экваторе. Влияние силы инерции и различия в силе притяжения к Земле на разных широтах, приводит к зависимости ускорения свободного падения от широты местности и к различию в ускорении свободного падения в разных точках земного шара.

Мы видим, что существует эквивалентность центробежной силы инерции и сил тяготения. Если бы Земля не вращалась, та же потеря в весе вызывалась бы немного большей сплюснутостью Земли, а если бы Земля не была сплюснута, та же потеря в весе вызывалась бы несколько большей скоростью вращения Земли. Отклонение отвеса также вызывалось бы не вращением Земли, а неравномерным распределением масс внутри Земли.

Определения центробежной и центростремительной силы из разных источников и другие высказывания по этому поводу .

«..., при равномерном вращении точки по окружности величина линейной скорости остаётся постоянной, а направление изменяется. Но изменение скорости в единицу времени и есть ускорение. Следовательно, при равномерном вращении по окружности точка движется с ускорением, которое обуславливает изменение скорости по направлению. Такое ускорение называется центростремительным . Вектор центростремительного ускорения направлен к центру вращения. ...» ст. 54.
«В случае равномерного движения тела по окружности центростремительная сила - это результирующая всех сил, действующих на тело . Она приложена к телу и направлена к центру вращения. Её роль может выполнять любая сила, удерживающая тело на криволинейной траектории.
По третьему закону Ньютона в природе силы существуют только парами, следовательно, при вращательном движении наряду с центростремительной силой должна существовать вторая сила, равная ей по величине и противоположная по направлению. Такая сила называется центробежной . Если центростремительная сила приложена к телу, то центробежная - к связи.» ст. 55.
Воронецкая Л. В., Васковская В. Н. Физика. "Вища школа", 1976.

«Согласно второму закону Ньютона, эта центростремительная сила пропорциональна массе тела и сообщаемому ею этому телу ускорению. Ускорение это, называемое нормальным или центростремительным, для движения по кругу радиусом R со скоростью v равно
w n = v 2 / R . (1.4)
Величина центростремительного ускорения впервые была определена Гюйгенсом. Центростремительная сила, вызывающая это ускорение,
F ц = mv 2 / R (1.5)
и направлена, как ускорение, т. е. к центру. А центробежную силу направляют от центра, т. е. противоположно ускорению. Между тем ни одна реальная сила не может быть направлена против ускорения, создаваемого ею. Значит, сила эта фиктивная, введенная условно.» (Гулиа, скорее всего, имеет в виду инерционную центробежную силу (центробежную силу инерции) в неинерциальных системах отсчёта, однако и в этом случае этот текст противоречит многим курсам механики.)
Гулиа Н. В. Инерция. - М.: Наука, 1982. ст. 18-19.

«§ 134. Вращающиеся системы отсчёта . Теперь рассмотрим движение тел относительно систем отсчёта, вращающихся относительно инерциальных систем. Выясним, какие силы инерции действуют в этом случае. Ясно, что это будет более сложно, так как разные точки таких систем имеют разные ускорения относительно инерциальных систем отсчёта.
Начнем со случая, когда тело покоится относительно вращающейся системы отсчёта. В этом случае сила инерции должна уравновешивать все силы, действующие на тело со стороны других тел. Пусть система вращается с угловой скоростью ω, а тело расположено на расстоянии r от оси вращения и находится в равновесии в этой точке. Для того чтобы найти результирующую сил, действующих на тело со стороны других тел, можно, как и в § 128, рассмотреть движение тела относительно инерциальной системы. Это движение есть вращение с угловой скоростью ω по окружности радиуса r. Согласно § 119, результирующая направлена к оси по радиусу и равна mω 2 r , где m - масса тела. ... Эта результирующая не зависит, конечно, от того, в какой системе отсчёта рассматривается данное движение. Но относительно нашей неинерциальной системы тело покоится. Значит, сила инерции уравновешивает эту результирующую, т. е. равна массе тела, умноженной на ускорение той точки системы, где находится тело, и направлена противоположно этому ускорению. Таким образом, сила инерции также равна mω 2 r , но направлена по радиусу от оси вращения . Эту силу инерции часто называют центробежной силой инерции 1). Силы, действующие со стороны других тел на тело, покоящееся относительно вращающейся системы отсчёта, уравновешиваются центробежной силой инерции. ...

1) Не путать с центробежной силой, введенной в § 119 для обозначения силы, действующей со стороны тела, движущегося по окружности, на связь.»

Под ред. академика Г. С. Ландсберга эл. уч. физики том 1 Механика, теплота... - М:. Наука, 1973. ст. 299-300.

«§ 33. Поступательное и вращательное движение твёрдого тела .

В § 3 мы условились ограничиться описанием поведения только одной точки , произвольно выбранной на движущемся теле. И потом, рассматривая траекторию, скорость, ускорение и другие величины, мы рассчитывали их для этой одной, выбранной нами точки тела, т. е. мы построили кинематику точки . Однако несмотря на это, очень часто говорилось о траектории движения тела , о скорости движения тела и т. д. ...

Рассмотрим вращение камня массой m на веревке (рис. 4.8).

Рис. 4.8

В каждый момент времени камень должен был бы двигаться прямолинейно по касательной к окружности. Однако он связан с осью вращения веревкой. Веревка растягивается, появляется упругая сила, действующая на камень, направленная вдоль веревки к центру вращения. Это и есть центростремительная сила (при вращении Земли вокруг оси в качестве центростремительной силы выступает сила гравитации).

Но так как то

		(4.5.2)
		(4.5.3)

Центростремительная сила возникла в результате действия камня на веревку, т.е. это сила, приложенная к телу, – сила инерции второго рода . Она фиктивна – ее нет.

Сила же, приложенная к связи и направленная по радиусу от центра, называется центробежной .

Помните, что центростремительная сила приложена к вращающемуся телу, а центробежная сила – к связи.

Сила гравитационного притяжения направлена к центру Земли.
Сила реакции опоры (нормального давления) направлена перпендикулярно к поверхности движения.

Центробежная сила – сила инерции первого рода. Центробежной силы, приложенной к вращающемуся телу, не существует.

С точки зрения наблюдателя, связанного с неинерциальной системой отсчета, он не приближается к центру, хотя видит, что F цс действует (об этом можно судить по показанию пружинного динамометра). Следовательно, с точки зрения наблюдателя в неинерциальной системе есть сила, уравновешивающая F цс, равная ей по величине и противоположная по направлению:

Т.к. a n = ω 2 R (здесь ω – угловая скорость вращения камня, а υ – линейная), то

F цб = m ω 2 R .

(4.5.4)

Все мы (и физические приборы тоже) находимся на Земле, вращающейся вокруг оси, следовательно, в неинерциальной системе (рис 4.9).

Рис. 4.9

Пусть на некотором диске имеется радиальная направляющая, на которую наденем шарик, привязанный к оси диска пружиной (рис. 2.3). При раскручивании диска шарик растягивает пружину до тех пор, пока упругая сила не станет равной
.

Рис. 2.3

где
центростремительное ускорение;

угловая скорость.

Относительно системы
(диск) шарик покоится. Это можно формально объяснить тем, что в системе
кроме силы
на шарик действует сила инерции
, направленная вдоль радиуса от оси вращения диска:

где
единичный вектор, направленный к центру диска.

Эта сила называется центробежной силой инерции . Она возникает во вращающихся (неинерциальных) системах отсчёта независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно неё со скоростью .

Сила Кориолиса

Густав Кориолис (1792 – 1873) – французский учёный в области механики.

П

Рис. 2.4

ри движении тела (
) в неинерциальной вращающейся системе отсчёта кроме центробежной силы возникает еще одна сила инерции, называемая силой Кориолиса .

Возьмём горизонтально расположенный диск, вращающийся относительно инерциальной системы отсчёта с постоянной угловой скоростью (её определение будет в лекции № 3) (рис. 2.4). Допустим, что по окружности радиусомR равномерно движется привязанная нитью к оси диска материальная точка (частица) со скоростью относительно диска. Её скорость относительно Земли имеет модуль
.

Центростремительное ускорение:

.

Сила натяжения нити:

где
ускорение частицы относительно диска. Перенося
в левую часть, ав правую, получим:

или

(Формально это выглядит как 2-й закон Ньютона).

Здесь
центробежная сила инерции;

сила Кориолиса, которую можно представить в виде векторного произведения:

Многие течения в мировом океане, а также ветры-пассаты обязаны своим происхождением силе Кориолиса. Силы Кориолиса необходимо учитывать при движении ракет и т.д.

5. Центр инерции. Определение. Центром инерции (центром масс) системы материальных точек (частиц) называется точка С, положение которой задаётся радиус-вектором , определённым следующим образом:

где
масса
й частицы;
радиус-вектор, определяющий положение этой частицы;
масса системы.

Замечание: в однородном поле сил тяжести центр инерции совпадает с центром тяжести системы.

Теорема о движении центра инерции (масс)

Запишем 2-й закон Ньютона для
й частицы массой.

где
внутренняя сила, действующая на-ю частицу (т.е равнодействующая сил, действующая со стороны других частиц системы на-ю частицу);
ускорение-й частицы;
внешняя сила, действующая на-ю частицу.

Для всех тел (частиц) системы сумма

, (*)

так как
по 3-му закону Ньютона (внутренние силы попарно равны по величине, направлены противоположно и действуют вдоль одной прямой).

Из определения центра масс следует:

.

Продифференцируем это выражение дважды:

,

где
ускорение центра масс.

. (**)

Сравнив выражения(*) и (**), получим
.

Сумму внешних сил можно заменить равнодействующей
, а
(по определению), получим:

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы и сосредоточена в центре инерции (масс), а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему (приложенных к точке С ). Этот результат называется теоремой о движении центра масс (инерции) .

Физический смысл этой теоремы заключается в том, что зачастую при движении тел (системы материальных точек) нас интересует не движение отдельных частей тела, а перемещение его в пространстве в целом. И в этом случае замена сложного (в общем случае) движения точек тела движением одной точки (центра масс) сильно упрощает задачу .

Вопросы для самоконтроля

Сформулируйте 1-й закон Ньютона. Что он устанавливает?

Сформулируйте 2-й закон Ньютона. Приведите пример использования этого закона как уравнения движения.

Сформулируйте 3-й закон Ньютона. Всегда ли он справедлив?

Когда возникает необходимость рассматривать силы инерции? Являются ли эти силы реальными?

Когда возникает центробежная сила инерции? Как ее рассчитывают?

При каких условиях возникает сила Кориолиса? Чему она равна?

Дайте определение центра инерции (центра масс).

Сформулируйте и докажите теорему о движении центра инерции (масс).