Apa itu tanda nilai mutlak. Kursus pilihan dalam matematika "nilai absolut". Bagian V. Sastra untuk guru

Saat menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda nilai absolut, teknik yang sama digunakan seperti saat menyelesaikan persamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda nilai absolut, yaitu: solusi dari pertidaksamaan awal direduksi menjadi menyelesaikan beberapa ketidaksetaraan yang dipertimbangkan pada interval ekspresi tanda konstan berdiri di bawah tanda-tanda diperbesar mutlak.

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan

Solusi: Pertimbangkan interval tanda konstanta dari ekspresi x 2 - 2, yang berada di bawah tanda nilai absolut.

1) Misalkan

maka pertidaksamaan (*) berbentuk

Perpotongan himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini dan pertidaksamaan x 2 -2 0 adalah himpunan penyelesaian pertama dari pertidaksamaan awal (Gbr. 1): x (-2; -].

2) Misalkan x 2 - 2
2 - x 2 + x

Perpotongan himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini dan pertidaksamaan x 2 - 2

Jawab: x(-2; -1).

Tidak seperti persamaan, pertidaksamaan tidak memungkinkan verifikasi langsung. Namun, dalam banyak kasus, Anda dapat memverifikasi kebenaran hasil yang diperoleh secara grafis. Memang, kami menulis ketidaksetaraan contoh dalam bentuk

Mari kita bangun fungsi y 1 =x 2 - 2 dan y 2 = -x yang termasuk dalam sisi kiri dan kanan pertidaksamaan yang ditinjau, dan temukan nilai argumen yang y 1

Pada ara. 3, area sumbu x yang diarsir berisi nilai x yang diinginkan. Penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung tanda nilai absolut terkadang dapat dikurangi secara signifikan menggunakan persamaan x 2 \u003d x 2.

Gambar 3

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan

Solusi: Pertidaksamaan asli untuk semua x -2 sama dengan pertidaksamaan

x - 1 > x + 2. (**)

Menguadratkan kedua sisi pertidaksamaan (**), setelah mengurangi suku yang sama, kita mendapatkan pertidaksamaan

Mempertimbangkan himpunan nilai yang dapat diterima dari pertidaksamaan awal yang ditentukan oleh kondisi x -2, kami akhirnya mendapatkan bahwa pertidaksamaan (*) terpenuhi untuk semua x(-; -2)(-2; -1/2 ).

Jawab: (-; -2)(-2; -1/2).

Contoh: Temukan bilangan bulat terkecil x yang memenuhi pertidaksamaan:

Solusi: Karena x +1 0 dan, dengan syarat, x +1 0, maka pertidaksamaan ini setara dengan persamaan berikut: 2x + 5 > x +1. Yang terakhir, pada gilirannya, setara dengan sistem ketidaksetaraan - (2x + 5)

-(2x + 5)
2x + 5 > x +1,

Bilangan bulat terkecil x yang memenuhi sistem pertidaksamaan ini adalah 0. Perhatikan bahwa x -1, jika tidak, ekspresi di sisi kiri pertidaksamaan ini tidak masuk akal.

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan:

Jawaban 1; satu].

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

Keputusan. x 2 - 3x + 2 negatif di 1

2.-S? X? 1. Kami memiliki pertidaksamaan x2 - x - 2? 0. Solusinya adalah -1 ? X? 2. Oleh karena itu, seluruh segmen -S? x? 1 memenuhi pertidaksamaan.
4.x? 2. Pertidaksamaannya sama dengan kasus 2. Hanya x = 2 yang cocok.

Jawaban: 5 - 41 2 ? X? 2.

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan.

x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.

Keputusan. Mari kita selesaikan ketidaksetaraan ini dengan cara yang tidak standar.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 - x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

Kemerovo

MOU "Sekolah Menengah Pertama No. 37"

Mata kuliah pilihan

untuk siswa kelas 10-11

Persamaan, pertidaksamaan dan sistem,

Disusun oleh:

Kaplunova Zoya Nikolaevna

guru matematika

Catatan penjelasan………………………………………………..hal 2

Rencana pendidikan dan tematik………………………………………...hal. 6

Daftar kata kunci………………………………………...halaman 7

Sastra untuk guru………………………………………………..hal 8

Sastra untuk siswa………………………………...hal.8

Catatan penjelasan.

Tugas utama pengajaran matematika di sekolah adalah memastikan penguasaan yang kuat dan sadar atas sistem pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan setiap anggota masyarakat modern dalam kehidupan dan pekerjaan sehari-hari, cukup untuk mempelajari disiplin ilmu terkait dan melanjutkan pendidikan.

Seiring dengan penyelesaian tugas utama, studi matematika yang lebih dalam memberikan pembentukan minat yang mantap pada mata pelajaran pada siswa, identifikasi dan pengembangan kemampuan matematika mereka, orientasi terhadap profesi yang secara signifikan terkait dengan matematika, dan persiapan. untuk belajar di universitas.

Masalah membedakan pengajaran matematika tetap relevan, memungkinkan, di satu sisi, untuk memberikan pelatihan matematika dasar, dan di sisi lain, untuk memenuhi kebutuhan setiap orang yang tertarik dengan mata pelajaran tersebut.

Program kursus "Persamaan, ketidaksetaraan, dan sistem yang mengandung tanda nilai absolut" ini menawarkan studi tentang masalah-masalah yang tidak termasuk dalam kursus matematika sekolah dasar secara penuh, tetapi diperlukan untuk studi lebih lanjut.

Konsep nilai mutlak (modulus) merupakan salah satu ciri terpenting dari suatu bilangan, baik dalam bidang real maupun bidang bilangan kompleks. Konsep ini banyak digunakan tidak hanya di berbagai bagian mata pelajaran sekolah, tetapi juga dalam mata pelajaran matematika, fisika, dan ilmu teknik tingkat tinggi yang dipelajari di universitas. Misalnya, dalam teori perhitungan perkiraan, konsep kesalahan absolut dan relatif dari angka perkiraan digunakan. Dalam mekanika dan geometri, konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor) dipelajari. Dalam analisis matematika, konsep nilai absolut suatu bilangan terkandung dalam definisi konsep dasar seperti limit, fungsi terbatas, dll. Masalah yang berkaitan dengan nilai absolut sering ditemukan pada olimpiade matematika, ujian masuk universitas dan Ujian Negara Bersatu.

Kurikulum sekolah mata pelajaran matematika tidak menyediakan generalisasi dan sistematisasi pengetahuan tentang modul, sifat-sifatnya, yang diterima oleh siswa selama masa studi.

Dengan demikian, mata kuliah “Persamaan, Pertidaksamaan, dan Sistem yang Mengandung Tanda Nilai Absolut” ini dimaksudkan untuk memperluas mata kuliah dasar aljabar dan awal analisis serta memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk mengenal teknik dan metode dasar penyelesaian tugas yang berkaitan dengan modul. Membangkitkan minat penelitian dalam masalah ini, mengembangkan pemikiran logis, berkontribusi pada perolehan pengalaman dengan tugas yang lebih tinggi dari tingkat kerumitan yang dibutuhkan.

Kursus "Persamaan, ketidaksetaraan, dan sistem yang mengandung tanda nilai absolut" dimaksudkan untuk pelatihan profil siswa kelas 10-11 dan dirancang untuk 34 jam (1 jam per minggu).

Dalam proses pengajaran mata kuliah ini, diusulkan untuk menggunakan berbagai metode pengaktifan aktivitas kognitif siswa, serta berbagai bentuk pengorganisasian kerja mandiri mereka.

Selama mempelajari kursus ini, siswa menguasai materi teoretis dan melakukan tugas-tugas praktis. Hasil dari penguasaan program kursus adalah penyajian karya kreatif pada pelajaran terakhir

Saat mempelajari kursus, kontrol tes disediakan.

Tujuan Kursus:

*generalisasi dan sistematisasi, perluasan dan pendalaman pengetahuan tentang topik "Nilai absolut";

*perolehan keterampilan praktis untuk menyelesaikan tugas dengan modul;

* Meningkatkan tingkat persiapan matematika siswa.

Tujuan kursus

* membekali siswa dengan sistem pengetahuan pada topik "Nilai absolut"

* untuk membentuk keterampilan menerapkan pengetahuan ini dalam memecahkan masalah dengan kompleksitas yang berbeda-beda;

* mempersiapkan siswa untuk ujian;

* untuk membentuk keterampilan kerja mandiri, bekerja dalam kelompok;

* untuk membentuk keterampilan bekerja dengan literatur referensi;

Persyaratan untuk tingkat asimilasi materi pendidikan

Sebagai hasil dari mempelajari program kursus, siswa akan dapat

mengetahui dan memahami:

*definisi, konsep dan algoritma dasar untuk menyelesaikan persamaan pertidaksamaan dan sistem dengan modulus;

*aturan untuk membuat grafik fungsi yang mengandung tanda nilai absolut;

Mampu untuk:

* menerapkan definisi, sifat-sifat nilai absolut bilangan real ke solusi bilangan real ke solusi masalah tertentu;

* memecahkan persamaan, ketidaksetaraan, sistem persamaan dan ketidaksetaraan yang mengandung variabel di bawah tanda modul;

* Mampu melakukan riset kecil-kecilan secara mandiri.

1.Pendahuluan 1 jam.

Tujuan dan sasaran kursus. Pertanyaan yang tercakup dalam kursus dan strukturnya. Kenalan dengan sastra, tema karya kreatif.

24 jam)

Penentuan nilai absolut. Interpretasi geometris dari konsep modul. Operasi pada nilai absolut. . Penerapan properti modul saat memecahkan masalah.

3. Grafik fungsi yang mengandung tanda nilai mutlak (8 jam)

Aturan dan algoritma untuk memplot grafik fungsi. Definisi fungsi genap. Transformasi geometri grafik fungsi yang mengandung tanda modulus. Plot dasar pada contoh fungsi paling sederhana. Grafik persamaan: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),dimana f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Persamaan mengandung nilai absolut.(10 jam)

Pengungkapan modul menurut definisi, transisi dari persamaan asli ke sistem yang setara, mengkuadratkan kedua bagian persamaan, metode interval, metode grafis, penggunaan properti nilai absolut. Persamaan bentuk: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Metode perubahan variabel, saat menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut. Metode interval untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut. Persamaan bentuk:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Solusi grafis dari persamaan yang mengandung nilai absolut.

5. Pertidaksamaan mengandung nilai absolut (10 jam)

Ketidaksetaraan dengan satu yang tidak diketahui. Metode dasar untuk memecahkan ketidaksetaraan

dengan modul |f(x)|>a. Pertidaksamaan dalam bentuk a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.

6. Pelajaran terakhir (1 jam)

Presentasi karya kreatif.

Bagian III. Rencana pendidikan dan tematik

Judul bagian dan topik	Praktik	Formulir perilaku	bentuk kontrol
pengantar		Lelang Pengetahuan	Kuesioner, catatan

Nilai absolut dari bilangan real		Kuliah, bengkel	Ringkasan referensi, pemecahan masalah
Menyederhanakan ekspresi yang berisi variabel di bawah tanda modulo		bengkel	Penyelesaian masalah
Grafik Persamaan Yang Mengandung Tanda Modulus
Aturan dan algoritma untuk merencanakan grafik		Bengkel	Memo dengan aturan dan algoritma konstruksi
Definisi fungsi genap. Transformasi Plot Geometrik		Seminar - lokakarya	Ringkasan referensi, solusi tugas
Grafik persamaan: y=f\|x\|; y=f(-\|x\|); y=\|f(x)\|; y=\|f\|x\|\|; \|y\|=f(x),dimana f(x)≥0; \|y\|=\|f(x)\|			Memeriksa pelaksanaan plotting
Persamaan yang Mengandung Nilai Absolut
Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus			Abstrak, algoritma
Persamaan bentuk: \|f(x)\|=0; f\|x\|=o; \|f(x)\|=g(x); \|f(x)\|=\|g(x)\|;		bengkel	Memeriksa tugas yang diselesaikan
Metode interval dalam menyelesaikan persamaan yang mengandung tanda modulus. Persamaan dalam bentuk:\|f(x)\|±\|f(x)\|±\|f(x)\|±…±\|f(x)\|=0; \|f(x)\|±\|)f(x)\|±\|f(x)\|±…±\|f(x)\|=g(x).		Bengkel	Referensi abstrak, verifikasi tugas yang diselesaikan
Metode pengungkapan modul secara berurutan saat menyelesaikan persamaan yang berisi "modul dalam modul"		bengkel	Abstrak, memo, periksa tugas
Solusi grafis dari persamaan yang mengandung nilai absolut.		Bengkel	Tes grafik
Pertidaksamaan mengandung nilai absolut
Ketidaksetaraan dengan satu yang tidak diketahui.			abstrak
Metode Dasar Penyelesaian Pertidaksamaan dengan Modulus		bengkel	Abstrak, pemeriksaan solusi
Pertidaksamaan dalam bentuk a\|f(x)\|>g(x); \|f(x)\|>\|g(x)\|.		bengkel
Metode interval dalam menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung tanda modulus.		bengkel	Kontrol tes
Pelajaran terakhir		konferensi	abstrak

Bagian IV. Daftar Kata Kunci.

Algoritma, persamaan, pertidaksamaan, modulus, grafik, sumbu koordinat, translasi paralel, simetri pusat dan aksial, metode interval, trinomial kuadrat, polinomial, faktorisasi polinomial, rumus perkalian tereduksi, persamaan simetris, persamaan timbal balik, properti nilai absolut, domain definisi , rentang nilai yang valid.

Bagian V. Sastra untuk guru.

1.Bashmakov M.I. Persamaan dan ketidaksetaraan. (Teks) / M.I. Bashmakov.-M.: VZMSh

di Moscow State University, 1983.-138s.

2. Vilenkin N.Ya dan lainnya Aljabar dan analisis matematika Kelas 11. (Teks) / N.Ya.

Vilenkin-M.: Pencerahan, 2007.-280-an.

3. Gaidukov I.I. Nilai mutlak. (Teks)/ Gaidukov I.I. –M.: Pencerahan, 1968.-96 hal.

4. Gelfand I. M. et al.Fungsi dan grafik.(Teks) / I. M. Gelfand- M .: MTsNMO,

5.Goldich V.A. Zlotin S.E.t. 3000 soal aljabar (Teks) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350-an.

6. Kolesnikova S.I. Matematika. Kursus persiapan intensif untuk Yang Esa

Ujian negara. (Teks) / Kolesnikova S.I. - M .: Iris-press 2004.-299s.

7. Nikolskaya I.L. Kursus opsional dalam matematika. (Teks) / I.L. Nikolskaya-

M.: Pencerahan, 1995.-80-an.

8.Olekhnik S.N. dll. Persamaan dan pertidaksamaan. Metode solusi non-standar.

(Teks) / .Olekhnik S.N.-M.: Bustard, 2002.-219p.

Bagian VI. Sastra untuk mahasiswa

1.Goldich V.A. Zlotin S.E.t. 3000 soal aljabar (Teks) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350-an.

2. Kolesnikova S.I. Matematika. Kursus persiapan intensif untuk Yang Esa

Dokumen

... untukpilihan satu atau beberapa mata pelajaran akademik (dalam kurikulum, bagian: " elektifkursus") di 10 -11 kelas...dan juga di sistem pendidikan tambahan. Untuk kategori ini siswa mengembangkan dan menerapkan pelatihan jaringan kursuspada setiap orang...

Kegiatan H 4 51-1 “Peningkatan metode pengajaran di sekolah menengah berbasis pembuatan modul berorientasi mata pelajaran pada minimal 18 mata pelajaran berbasis penerapan teknologi informasi, pengembangan ilmu pengetahuan dan pendidikan

Laporan

... siswa. Studi ini menyajikan elektifdengan baikpada Matematika "Prinsip analisis matematika dan penerapannya" untuk10 - 11 terspesialisasi kelas... ketergantungan dan hubungan (fungsi, persamaan, ketidaksetaraan dll.). Biasanya ditentukan dulu..

Konten utama kursus

Nilai absolut dari sebuah angka. Properti dasar (1j).

Menentukan nilai mutlak suatu bilangan atau modul. Catatan analitis dari definisi. makna geometris. Properti dasar. Referensi sejarah.

Tujuan utamanya adalah untuk mensistematisasikan dan menggeneralisasikan pengetahuan siswa tentang topik “Nilai absolut”, yang mereka terima di kelas 6 dan 8; pertimbangkan arti geometris dari nilai absolut dan sifat-sifat utama; memberikan latar belakang sejarah pengenalan istilah “modul” dan “tanda modul”; pertimbangkan contoh yang solusinya didasarkan pada definisi modul.

Solusi persamaan dengan modul (3 jam).

Solusi persamaan kuadrat linier dengan modul, serta persamaan yang mengandung nilai absolut, dengan parameter.

tujuan utama- interpretasi geometris dari ekspresi dan penggunaannya untuk memecahkan persamaan bentuk; pertimbangkan solusi persamaan linier berdasarkan definisi modul; solusi persamaan kuadrat yang mengandung tanda nilai absolut, serta solusi grafis persamaan yang mengandung nilai absolut, dengan parameter.

Memecahkan ketidaksetaraan dengan modul (3 jam).

Solusi ketidaksetaraan linier, kuadrat dengan modul, serta ketidaksetaraan yang mengandung nilai absolut, dengan parameter.

tujuan utama- untuk mengembangkan kemampuan memecahkan pertidaksamaan linier dengan modul dengan berbagai cara (menggunakan makna geometris, mengkuadratkan pertidaksamaan, menggunakan pertidaksamaan ganda); pertidaksamaan kuadrat yang mengandung tanda nilai absolut, menggunakan sketsa skema grafik fungsi kuadrat, serta metode interval; memberikan gambaran penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak dengan parameter.

Metode interval (2j).

Solusi persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung nilai absolut menggunakan metode interval.

tujuan utama - untuk mengajar anak sekolah memecahkan persamaan dan ketidaksetaraan yang mengandung nilai absolut dengan metode interval; merumuskan teorema yang menjadi dasar pencarian interval keteguhan; menemukan nol modul.

Ketidaksetaraan bentuk diselesaikan dengan menggunakan transisi yang setara (2 jam).

Memecahkan ketidaksetaraan bentuk melalui transisi yang setara ke sekumpulan ketidaksetaraan, dan ketidaksetaraan - ke sistem ketidaksetaraan.

tujuan utama- untuk mengkonsolidasikan konsep kesetaraan, yang dikenal siswa dari kelas 8; merumuskan (dan membuktikan dalam kelas "kuat") properti transisi setara dari ketidaksetaraan ke himpunan dan dari ketidaksetaraan ke sistem.

Penerapan sifat-sifat nilai absolut dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan (1h).

Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan (linier, kuadrat, lebih tinggi dari derajat kedua), serta sistem persamaan dan pertidaksamaan menggunakan sifat-sifat nilai absolut.

tujuan utama– ulangi, jika perlu, properti utama modul; ajari siswa untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan (linier, kuadrat, derajat di atas yang kedua), serta sistem persamaan dan pertidaksamaan menggunakan sifat-sifat nilai absolut; tunjukkan teknik grafis saat menulis tanggapan; memperluas kelas persamaan dengan modulus (pertimbangkan persamaan dengan dua variabel).

Solusi persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus pada garis koordinat (1h).

Solusi persamaan linear dan pertidaksamaan dengan modulus pada garis koordinat.

tujuan utama- ulangi rumus jarak antara dua titik A ( x 1) dan B( x 2) garis koordinat; mengajar siswa untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus pada garis koordinat.

Modulus dan transformasi akar (1h).

Penerapan konsep modul saat beroperasi dengan akar aritmatika. Transformasi ekspresi irasional, dalam solusi yang digunakan modul.

tujuan utama– mengembangkan kemampuan untuk melakukan transformasi ekspresi yang mengandung akar kuadrat, di mana modul digunakan.

Modul dan persamaan irasional (2 jam).

Memecahkan persamaan irasional menggunakan metode kuadrat penuh atau memperkenalkan variabel baru.

tujuan utama- ulangi definisi persamaan irasional yang diketahui siswa dari kelas 8; tunjukkan dengan contoh solusi persamaan irasional terkait dengan kebutuhan untuk menggunakan modul.

Rencana pendidikan dan tematik

No p / p	Tema	Jumlah jam	Bentuk memimpin kelas	bentuk kontrol	Nama produk pendidikan
1	Nilai absolut dari sebuah angka. Properti dasar.	1	kuliah	-	-
2	Solusi persamaan dengan modul: Linier; kotak; Dengan opsi.	1	bengkel bengkel mempelajari materi baru	solusi tugas kontrol solusi tugas kontrol memeriksa buku kerja	-
5	Memecahkan ketidaksetaraan dengan modul: Linier; kotak; Dengan opsi.	1	bengkel mempelajari materi baru	pemeriksaan pekerjaan rumah jawaban atas pertanyaan memeriksa buku kerja	-
8	metode interval.	1	pelajaran gabungan pelajaran kompetisi	jawaban atas pertanyaan pelajaran tinjauan sejawat	-
10	Memecahkan ketidaksetaraan bentuk, diselesaikan dengan menggunakan transisi yang setara.	1	mempelajari materi baru konsolidasi materi yang dipelajari	cek catatan dikte matematika	-
12	Penerapan sifat-sifat nilai absolut dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.	1		pertanyaan lisan	-
13	Solusi persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus pada garis koordinat.	1	generalisasi dan sistematisasi pengetahuan	kerja mandiri	-
14	Modulus dan transformasi akar.	1	bengkel	pekerjaan kelompok	-
15	Modulus dan persamaan irasional.	1	pemeriksaan dan koreksi ZUN konsultasi	tes rumah jawaban atas pertanyaan	-
17	Mengimbangi.	1	mengontrol atau menguji pekerjaan	-	menyusun kerangka dasar

Daftar literatur untuk guru

Golubev V.I. Nilai absolut dari angka dalam ujian kompetitif dalam matematika (berdasarkan materi universitas terkemuka di negara itu) - Lvov: Quantor, 1991.
Golubev V. Metode efektif untuk memecahkan masalah pada topik “Nilai absolut” .- M .: Chistye Prudy, 2006.
Dankova I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. Pelatihan pra-profil untuk siswa kelas 9 dalam matematika - M .: 5 untuk pengetahuan, 2006.
Rurukin A.N. Manual persiapan intensif untuk ujian matematika “Wisuda, masuk, GUNAKAN untuk 5+” .- M .: VAKO, 2006.
Smykalova E.V. Matematika (modul, parameter, polinomial), pelatihan pra-profil, kelas 8-9 - St. Petersburg: SMIO-Press, 2006.

Daftar literatur untuk siswa

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika. Bahan referensi.- M .: Pendidikan, 1988.
Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Manual Matematika untuk pelamar ke universitas - M .: Nauka, 1973.
Zorin V.V. Manual matematika untuk pelamar ke universitas - M .: Sekolah Tinggi, 1974.
Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P., Shvartsburd S.I. Masalah peningkatan kompleksitas dalam aljabar dan permulaan analisis - M .: Education, 1990.
Kalnin R.A. Aljabar dan fungsi dasar, penerbit Nauka, edisi utama literatur fisika dan matematika.- M.: Nauka, 1975.
Krulikovsky N.N. Masalah matematika untuk pelamar - Tomsk: ed. Universitas Tomsk, 1973.
Nesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K. Masalah Ujian Masuk Matematika - M.: Nauka, 1986.
Sharygin I.F. Matematika untuk siswa SMA, Moskow, Drofa, 1995.

Bahan metodis

Pelajaran 1: Penentuan nilai absolut suatu bilangan (modulus suatu bilangan), arti geometrisnya, dan sifat dasarnya.

Nilai absolut (atau modul) dari bilangan real a disebut bilangan itu sendiri, jika bukan negatif, dan bilangan ini, diambil dengan tanda kebalikannya, jika negatif.

Modulus bilangan a dilambangkan sebagai berikut :. Membangun hubungan antara modulus angka dan angka itu sendiri, kami memperoleh catatan analitis dari definisi tersebut:

Modul suatu bilangan disebut juga jarak dari titik asal ke titik yang menggambarkan bilangan tersebut pada garis koordinat. Ini adalah apa makna geometris modul. Itu. istilah "modulus", "nilai absolut" atau "nilai absolut" dari suatu angka digunakan. Sesuai dengan definisi di atas = 5, = 3, =0. Modulus suatu bilangan juga dapat didefinisikan sebagai bilangan terbesar a dan - a.

Referensi sejarah: istilah "modulus" (dari lat. modulus – ukuran) diperkenalkan oleh matematikawan Inggris R. Kotes (1682-1716), dan tanda modul oleh matematikawan Jerman K. Weierstrass (1815-1897), pada tahun 1841.

Properti utama modul:

Pertimbangkan contoh yang solusinya didasarkan pada definisi modul.

Nomor 1. Selesaikan persamaan =4.

Menurut definisi modul; X=4 atau X=-4.

Nomor 2. Selesaikan persamaan: \u003d 3.

Persamaan ini setara dengan kombinasi dua persamaan:

Di mana: x 1=2 dan x 2=-1.

Nomor 3. Selesaikan persamaan: \u003d -2.

Dengan properti 1: modulus bilangan real apa pun adalah bilangan non-negatif, kami menyimpulkan bahwa tidak ada solusi.

Nomor 4. Selesaikan persamaan: = X–5.

Untuk properti yang sama 1: X–50, X 5.

Nomor 5. Selesaikan persamaan: + X=0.

=-x, X 0.

Nomor 6. Selesaikan persamaan: = X+2.

Berbeda dengan contoh sebelumnya, ruas kanan persamaan ini berisi ekspresi dengan variabel. Oleh karena itu, persamaan memiliki solusi asalkan X+20, mis. x-2. Kemudian kita memiliki:

2x+1=x+2 atau

2x + 1 \u003d - x - 2.

Itu. pada x -2, kita punya:

Selesaikan Persamaan:

Pelajaran 2. Solusi persamaan linier dengan modul.

Saat memecahkan persamaan linier, baik arti geometris dari modulus suatu bilangan atau perluasan tanda modulus digunakan. Pertimbangkan sebuah contoh: selesaikan persamaannya

a) Kami menggunakan arti geometris dari modulus angka. Mari tulis persamaannya dalam bentuk: +=7. Kemudian d=х–5- jarak dari titik X ke titik 5 pada garis bilangan, f \u003d x - (-2)- jarak dari titik X ke titik (-2).Menurut kondisi soal, jumlah jarak tersebut d+f=7. Mari plot titik 5 dan -2 pada garis bilangan. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa untuk nomor apa pun dari segmen [-2;5] jumlah jarak d+f sama dengan panjang segmen AB, yaitu 7. Sama mudahnya untuk mengatur titik-titik x atau x>5 jumlah jarak d+f>7. Oleh karena itu, solusi persamaan tersebut adalah interval.

b) Mari kita buka tanda modul. Untuk melakukan ini, letakkan poin -2 dan 5 pada garis bilangan. Titik-titik ini membaginya menjadi tiga interval. Pertimbangkan tanda-tanda modul di setiap interval.

Dalam interval 1 (x kita dapatkan: -(x–5)–(x+2)=7 atau –x+5–x–2=7 atau - 2x+3=7, dari mana kita mendapatkan: x=-2. Tetapi poin ini tidak termasuk dalam interval yang dipertimbangkan. Itu sebabnya x=-2 bukanlah sebuah solusi.

Dalam selang waktu 2: X kita mendapatkan: -(x–5)+(x+2)=7 atau 7=7. Karena ternyata persamaan yang benar, setiap titik dari interval ini adalah solusi untuk persamaan ini.

Dalam interval 3 (x>5) kita mendapatkan: (x-5)+(x+2)=7 atau 2x-3=7, di mana x=5. Dot x=5 tidak termasuk dalam interval yang dianggap dan bukan solusi dari persamaan.

Jadi solusi dari persamaan ini adalah: -2x5.

Selesaikan Persamaan:

Pelajaran nomor 3. Solusi persamaan kuadrat dengan modulus.

Pertimbangkan solusi persamaan kuadrat dengan modul menggunakan contoh:

No.1. memecahkan persamaan

Kami memperkenalkan penggantinya =y, lalu pada pada 0 persamaan menjadi:

y 2 –6y+8=0, dari mana y 1 = 2 dan y 2 = 4.a x= 2 atau -2; 4 atau -4.

Nomor 2. Selesaikan persamaan:

Persamaannya setara dengan sistem: Di mana X=1.

Nomor 3. Selesaikan persamaan:

2X – 1.

Persamaan tersebut memiliki solusi asalkan 2 X–10, dan kesetaraan dimungkinkan dengan syarat: nilai ekspresi x 2 + x-1 dan 2 X-1 sama atau berlawanan. Itu. kami memiliki: x0.5. Mari kita buat persamaan: x 2 + x–1=2X-1 atau x 2+X–1=-(2X-satu); memecahkan yang mana, kita dapatkan

Nomor 4. Temukan akar persamaan: .

Kami mewakili persamaan ini dalam bentuk: = X 2 - 1, dari mana:

x - 1 \u003d x 2 - 1,

atau x - 1 \u003d - (x 2 - 1).

x 2 - 1 dengan x - 1 dan x 1.Memecahkan persamaan, kita dapatkan dari yang pertama: x=0 dan x=1, dari yang kedua: x=-2 dan x=1.

Menjawab: x=1; x=-2.

Nomor 5. Temukan akar bilangan bulat dari persamaan: = .

Menggunakan definisi modul, kami menyimpulkan bahwa kesetaraan dimungkinkan jika nilai ekspresi x–x 2–1 dan 2x+3–x 2 sama atau berlawanan, yaitu persamaan ini setara dengan kombinasi dua persamaan:

Memecahkan himpunan, kita mendapatkan akar dari persamaan ini: x=-4;-0,5;2. Bilangan bulat di antaranya: -4 dan 2.

Nomor 6. Selesaikan persamaan: \u003d 2x 2 -3x + 1.

Tunjukkan ekspresi 3x-1-2x 2 surat sebuah. Maka persamaan ini akan berbentuk: =-a. Berdasarkan notasi analitik definisi modul, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan ini setara dengan pertidaksamaan: 3x–1-2x 2 0, memecahkan yang mana, kami mendapatkan jawabannya: x0.5 dan x1.

Latihan untuk pekerjaan mandiri.

Selesaikan persamaan:

Nomor 1. \u003d x 2 + x-20.

Nomor 2. + 3x -5=0,

Nomor 3. =(x–1)(x+1),

Nomor 4. x 2 -6 + 5 \u003d 0,

Nomor 5. x 2 +8 = 9,

Nomor 6. \u003d x 2 -6x + 6,

Nomor 7. x = -8.

Pelajaran nomor 4. Solusi persamaan yang mengandung nilai absolut, dengan parameter.

Pertimbangkan sebuah contoh: selesaikan persamaan dengan parameter

Mari kita buat grafik fungsi y=3–x dan y=. Jadwal y=3–x tetap dan tidak tergantung pada parameter. Jadwal y= diperoleh dari grafik fungsi y=, tergantung parameternya sebuah. Jadi mari kita pertimbangkan 3 kasus:

Kasus ini, seperti yang dapat dilihat dari gambar, sebuah. Grafik dari fungsi-fungsi ini berpotongan di satu titik B. Pertimbangkan segitiga ABC, di mana sudut A sama dengan sudut B dan sama dengan 45 0, kami menggambar tinggi VD dalam segitiga ini. Karena segitiga ABC sama kaki, maka BD juga merupakan median segitiga tersebut. Oleh karena itu, absis titik D X=(a + 3)/2.

Kasus ini terjadi ketika sebuah=3. Kemudian grafik fungsi bertepatan sepanjang segmen AB dan absis dari setiap titik sinar ini adalah solusi untuk persamaan ini, yaitu. X

Pada kasus ini sebuah>3. Dapat dilihat bahwa grafik fungsi tidak berpotongan, yaitu tidak memiliki kesamaan poin. Oleh karena itu, persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan persamaan:

Nomor 3. (a–2)=a–2,

Nomor 4. a 2 x 2 + a \u003d 0.

Pelajaran nomor 5. Solusi pertidaksamaan linear dengan modul.

Pertidaksamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulo diselesaikan dengan berbagai cara; Mari kita lihat contoh yang cukup sederhana:

No. 1. Selesaikan pertidaksamaan:

Cara pertama: Kami memiliki: >4,

Secara geometris, ungkapan berarti jarak pada garis koordinat antar titik X dan 2.5. Jadi kita perlu menemukan semua poin seperti itu X, yang berjarak lebih dari 2 dari titik 2.5, adalah titik-titik dari interval x dan x>4.5.

Cara kedua: Karena kedua bagian dari pertidaksamaan yang diberikan adalah non-negatif, kita akan mengkuadratkan kedua bagian dari pertidaksamaan ini: 2 >4 2 .

(2х–5) 2 >4 2 ,

(2х–5) 2 –16>0,

(2х–5–4)(2х–5+4)>0,

2(x–4,5) 2(x–0,5)>0,

(x–4.5)(x–0.5)>0.

Menerapkan metode interval, kita mendapatkan: x,5 dan x>4.5.

Cara ketiga: Ekspresi 2x–5 mungkin non-negatif atau negatif. Itu. kami memiliki satu set dua sistem:

Di mana: x dan x>4.5.

Mari kita lihat beberapa contoh lagi.

Contoh No. 2. Selesaikan pertidaksamaan:

Ketidaksetaraan ini setara dengan kombinasi dua sistem:

Dari sistem pertama kita dapatkan 2x, dari yang kedua -1-1

Contoh #3. Selesaikan pertidaksamaan: 3 x+3.

Ketimpangan ini setara dengan ketimpangan ganda -х-33х–3х+3 atau sistem

Kita punya : 0x3.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan pertidaksamaan:

№3. ->-2.

Pelajaran nomor 6. Memecahkan ketidaksetaraan kuadrat dengan modul.

Perhatikan contoh #1. Selesaikan pertidaksamaan: +x–2.

Pertidaksamaan ini dapat diselesaikan dengan metode interval. Pertimbangkan solusi lain berdasarkan pernyataan berikut: untuk sembarang nilai a, pertidaksamaan setara dengan sistem pertidaksamaan: ,dan ketidaksetaraanekivalen dengan himpunan pertidaksamaan.

Oleh karena itu, ketidaksetaraan kita setara dengan sistem ketidaksetaraan: memecahkan mana, kita mendapatkan:

Ayo tulis jawabannya: (1-;2-).

Contoh #2. Temukan seluruh solusi dari ketidaksetaraan: 2x–x 2. Masalahnya direduksi menjadi penyelesaian satu set dua sistem ketidaksetaraan:

Kami memecahkan sistem pertama: dari ketidaksetaraan pertama kami memiliki: x1; x2.

dari yang kedua: 2x 2 –5x+20, atau 0,5x2.

Setelah menandai solusi yang ditemukan dari ketidaksetaraan pertama dan kedua dari sistem pertama pada garis koordinat, kami menemukan persimpangan solusi.

Itu. 0,5x1 dan x=2. Ini adalah solusi dari sistem pertama.

Kami memecahkan sistem kedua: dari ketidaksetaraan pertama kami memiliki: 1-(x 2 -3x + 2) 2x–x 2, atau – х 2 +3х–2–2х+ х 2 0, atau x2.

Mencatat solusi yang ditemukan dari ketidaksetaraan pertama dan kedua dari sistem kedua pada garis koordinat, kita mendapatkan: 1

Menggabungkan solusi yang ditemukan untuk sistem ketidaksetaraan 0,5x1; x=2; 1 0,5x2 dll. seluruh solusi akan x=1 dan x=2.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan pertidaksamaan:

Nomor 4. x 2 -3+2>0,

Nomor 6. x 2 -6x+7-

Nomor 7. 3+x 2 –7>0,

№8. >.

Pelajaran nomor 7. Memecahkan ketidaksetaraan yang mengandung nilai absolut dengan parameter.

Contoh. Pada nilai apa sebuah ketimpangan sejati: kapak 2 +4+a+3 ?

Pada x0 kita punya kapak 2 + 4x + a + 3. Koefisien senior sebuah harus negatif, diskriminan harus kurang dari nol.

a 16–4a(a+3) 0; ai a>1;

absis bagian atas parabola x 0 \u003d -b / 2a \u003d - 4 / 2a \u003d -2 / a 0, di mana sebuah.

Pada x kita punya kapak 2 -4x + a + 3. Berdebat dengan cara yang sama, kita mendapatkan: sebuah.

Jawaban: kapan dan pertidaksamaan ini berlaku untuk semua nilai riil x.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan pertidaksamaan dengan parameter:

Nomor 3. Apakah ada nilai-nilai yang pertidaksamaannya kapak 2 >2+5 tidak memiliki solusi?

Pelajaran #8 - 9. Metode interval untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung modulus.

Pertimbangkan metode interval menggunakan contoh penyelesaian persamaan

-+3-2=x+2.

Untuk mengatasi ketidaksetaraan ini, modul perlu diperluas. Untuk melakukan ini, kami memilih interval, yang masing-masing ekspresi di bawah tanda modul hanya mengambil nilai positif atau negatif. Menemukan interval seperti itu didasarkan pada teorema: jika pada interval (a; c) fungsi f kontinu dan tidak hilang, maka ia mempertahankan tanda konstan pada interval ini.

Untuk menyorot interval keteguhan, kami menemukan titik di mana ekspresi yang ditulis di bawah modul menghilang:

x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

Titik yang dihasilkan akan memecah garis menjadi interval yang diinginkan. Mari kita tentukan tanda-tanda ekspresi

х+1, х, х–1, х–2 pada interval berikut:

Diberi tanda-tanda, kami akan membuka modul. Sebagai hasilnya, kami memperoleh satu set sistem yang setara dengan persamaan ini:

Set terakhir direduksi menjadi bentuk:

Solusi dari totalitas sistem dan persamaan ini: -2; X 2.

Teknik yang digunakan disebut metode interval. Ini juga digunakan untuk menyelesaikan ketidaksetaraan.

Selesaikan pertidaksamaan: +x–2

1) Temukan nol dari ekspresi: x 2 -3x.

x 1 = 0, x 2 = 3.

2) Bagilah garis koordinat menjadi interval dan atur tanda ekspresi x 2 -3x pada setiap selang waktu:

3) Mari kita kembangkan modulnya:

Solusi sistem pertama: , solusi sistem kedua. Solusi dari pertidaksamaan ini: .

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

№3

Pelajaran #10 - 11. Solusi dari ketidaksetaraan bentuk , melalui transisi ekuivalen.

Pertimbangkan ketidaksetaraan bentuk dan. Kami menerima tanpa bukti teorema berikut: untuk setiap nilai dari pertidaksamaansetara dengan sistem pertidaksamaan dan pertidaksamaanekivalen dengan himpunan pertidaksamaan

Pertimbangkan sebuah contoh: selesaikan pertidaksamaan: >x+2.

Menggunakan teorema yang dirumuskan, kami beralih ke himpunan ketidaksetaraan:

Sistem dan ketimpangan 0x>2 tidak memiliki solusi. Oleh karena itu, solusi dari populasi (dan pertidaksamaan yang diberikan) adalah X.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Pelajaran nomor 12. Penerapan sifat-sifat nilai absolut dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.

Saat menyelesaikan beberapa tugas, properti modul digunakan. (Jika perlu, ulangi, lihat kegiatan nomor 1).

Catatan penjelasan

Matematika adalah bahasa yang dituturkan tidak hanya oleh ilmu pengetahuan dan teknologi, matematika adalah bahasa peradaban manusia. Itu telah merambah hampir semua bidang kehidupan manusia. Produksi modern, komputerisasi masyarakat, pengenalan teknologi informasi modern membutuhkan literasi matematika.

Pendidikan matematika berkontribusi pada pembentukan budaya manusia secara umum. Studi matematika berkontribusi pada pendidikan estetika seseorang, memahami keindahan dan keanggunan penalaran matematika.

Mata kuliah pilihan "Persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung tanda nilai absolut" dibuat untuk diterapkan di 9 kelas.

Mata kuliah ini dirancang untuk memperluas pengetahuan dan keterampilan mahasiswa dalam hal-hal yang berkaitan dengan konsep nilai mutlak suatu bilangan, pembuatan grafik fungsi dan penyelesaian grafik persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung tanda nilai mutlak.

Konsep nilai mutlak (modulus) merupakan salah satu ciri terpenting dari suatu bilangan baik dalam bidang real maupun bidang bilangan kompleks. Konsep ini banyak digunakan tidak hanya di berbagai bagian mata kuliah matematika sekolah, tetapi juga di mata kuliah matematika tinggi, fisika dan ilmu teknik yang dipelajari di universitas. Misalnya, dalam teori perhitungan perkiraan, konsep kesalahan absolut dan relatif dari angka perkiraan digunakan. Dalam mekanika dan geometri, konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor) dipelajari. Dalam analisis matematika, konsep nilai mutlak suatu bilangan terkandung dalam definisi konsep dasar seperti limit, fungsi terbatas, dll. Soal-soal yang berkaitan dengan nilai mutlak sering dijumpai pada olimpiade matematika, ujian masuk perguruan tinggi dan Ujian Negara Bersatu.

Kursus ini akan membantu guru mempersiapkan siswa dengan cara yang paling kualitatif untuk Olimpiade matematika, lulus OGE, Ujian Negara Bersatu, dan ujian untuk masuk ke universitas.

Program kursus elektif melibatkan keakraban dengan teori dan praktik masalah yang sedang dipertimbangkan dan dirancang untuk 34 jam: 7,5 jam kuliah dan 26,5 jam pelatihan praktis.

Isi kursus terdiri dari delapan bagian, termasuk pengantar dan pelajaran terakhir. Guru, tergantung dari tingkat persiapan siswa, tingkat kerumitan materi yang dipelajari dan persepsi siswa terhadapnya, tidak boleh mengambil semua topik untuk dipelajari, sambil menambah jumlah jam untuk mempelajari yang lain. Guru juga dapat mengubah tingkat kesulitan materi yang disajikan.

Program ini berisi topik karya kreatif dan daftar literatur tentang topik yang diusulkan.

Dalam proses pembelajaran mata kuliah ini diharapkan dapat menggunakan berbagai metode pengaktifan aktivitas kognitif anak sekolah, serta berbagai bentuk pengorganisasian kerja mandirinya.

Hasil dari penguasaan program kursus adalah presentasi karya individu dan kelompok kreatif oleh anak sekolah pada pelajaran terakhir.

Tujuan Kursus:

terbentuknya minat berkelanjutan siswa terhadap matematika;
penguasaan pengetahuan matematika khusus yang diperlukan untuk aplikasi dalam kegiatan praktis;
persiapan untuk asimilasi sadar kursus sistematis dalam aljabar dan geometri;
generalisasi dan sistematisasi, perluasan dan pendalaman pengetahuan tentang topik "Nilai absolut"; mendapatkan keterampilan praktis untuk menyelesaikan tugas dengan modul; meningkatkan tingkat pelatihan matematika anak sekolah.

Tujuan kursus:

membentuk kemampuan siswa membangun grafik fungsi yang mengandung tanda nilai absolut, menggunakan metode transformasi geometri, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan modul;
untuk membentuk keterampilan menerapkan pengetahuan ini dalam memecahkan berbagai masalah dengan kompleksitas yang berbeda-beda;
mempersiapkan siswa untuk ujian;
untuk membentuk keterampilan kerja mandiri, bekerja dalam kelompok kecil;
untuk membentuk keterampilan bekerja dengan literatur referensi, dengan komputer;
membentuk keterampilan dan kemampuan kerja penelitian;
untuk mempromosikan pengembangan pemikiran algoritmik siswa;
untuk mempromosikan pembentukan minat kognitif dalam matematika.

(1 jam per minggu, total 34 jam)

1. Pendahuluan (1 jam)

Tujuan dan sasaran kursus elektif. Pertanyaan yang tercakup dalam kursus dan strukturnya. Kenalan dengan sastra, tema karya kreatif. Persyaratan untuk peserta kursus. Lelang "Apa yang saya ketahui tentang nilai mutlak?".

2. Nilai mutlak bilangan asli a (4 jam)

Nilai mutlak suatu bilangan real a. Modul nomor yang berlawanan. Interpretasi geometris konsep modul a. Modulus jumlah dan modulus selisih bilangan real bilangan terbatas. Modulus selisih modulus dua bilangan. Modul produk dan modul hasil bagi. Operasi pada nilai absolut. Penyederhanaan ekspresi yang mengandung variabel di bawah tanda modul. Penerapan properti modul dalam menyelesaikan soal-soal olimpiade.

3. Grafik persamaan (termasuk fungsi), yang ekspresi analitiknya berisi tanda nilai absolut (5 jam)

Penggunaan program komputer "Advanced Grapher" dalam pembuatan grafik fungsi, yang ekspresi analitiknya berisi tanda modulus. Aturan dan algoritme untuk membuat grafik persamaan yang ekspresi analitiknya berisi tanda modulus. Grafik persamaan

Grafik dari beberapa fungsi paling sederhana, didefinisikan secara eksplisit dan implisit, yang ekspresi analitiknya berisi tanda modulus. Grafik persamaan (termasuk fungsi), yang ekspresi analitiknya berisi tanda nilai absolut dalam tugas Olimpiade.

4. Persamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak (11 jam)

Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Pengungkapan modul menurut definisi, transisi dari persamaan asli ke sistem yang setara, mengkuadratkan kedua bagian persamaan, metode interval, metode grafis, penggunaan properti nilai absolut. Persamaan bentuk

Metode perubahan variabel untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut. Metode interval untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut. Persamaan bentuk

Metode pengungkapan modul secara berurutan saat menyelesaikan persamaan yang berisi "modul dalam modul". Solusi grafis dari persamaan yang mengandung nilai absolut. Menggunakan sifat-sifat nilai absolut dalam menyelesaikan persamaan. Persamaan dengan parameter yang mengandung nilai absolut. Perlindungan tugas Olimpiade yang diselesaikan.

5. Pertidaksamaan mengandung nilai absolut (7 jam)

Pertidaksamaan bentuk

Metode interval dalam menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung tanda modulus. Pertidaksamaan dengan parameter yang mengandung nilai absolut. Pertidaksamaan dengan dua variabel.

Sistem persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung nilai absolut.

Masalah lain dalam solusi yang menggunakan konsep nilai absolut.

6. Pelajaran terakhir (1 jam)

Perencanaan tematik kalender

	Nama bagian dan topik	Jumlah jam
	Nama bagian dan topik	Jumlah jam
	pengantar
Nilai absolut dari bilangan real a (4 jam)
	Nilai mutlak suatu bilangan real a. teorema dasar
	Operasi pada nilai absolut
	Menyederhanakan ekspresi yang berisi variabel di bawah tanda modulo
	Penerapan properti modul dalam menyelesaikan soal-soal olimpiade
Grafik persamaan, ekspresi analitik yang berisi tanda nilai absolut (5 jam)
	Penggunaan program komputer "Advanced Grapher" dalam pembuatan grafik fungsi, yang ekspresi analitiknya berisi tanda modulus
	Aturan dan algoritme untuk membuat grafik (termasuk fungsi), yang ekspresi analitiknya berisi tanda modulus
	Grafik persamaan
	Grafik dari beberapa fungsi paling sederhana, didefinisikan secara eksplisit dan implisit, yang ekspresi analitiknya berisi tanda modulus
	Grafik persamaan, ekspresi analitik yang berisi tanda nilai absolut dalam tugas Olimpiade
Persamaan Yang Mengandung Nilai Absolut (11 jam)
	Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus
	Persamaan bentuk
	Metode perubahan variabel untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut
	Metode interval untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut. Persamaan bentuk
	Metode pengungkapan modul secara berurutan saat menyelesaikan persamaan yang berisi "modul dalam modul"
	Solusi grafis dari persamaan yang mengandung nilai absolut
	Menggunakan sifat-sifat nilai absolut dalam menyelesaikan persamaan
	Persamaan dengan parameter yang mengandung nilai absolut
	Perlindungan tugas Olimpiade yang diselesaikan
Pertidaksamaan mengandung nilai absolut (13 jam)
	Ketidaksetaraan dengan satu yang tidak diketahui. Metode Dasar Penyelesaian Pertidaksamaan dengan Modulus
	Metode Dasar Penyelesaian Pertidaksamaan dengan Modulus
	Pertidaksamaan bentuk
	Pertidaksamaan dengan dua variabel
	Sistem persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung nilai absolut
	Masalah lain dalam solusi yang menggunakan konsep nilai absolut
	Pelajaran terakhir

Daftar bahan pendidikan dan metodis

1.Bashmakov M.I. Persamaan dan ketidaksetaraan. – M.: VZMSh di Moscow State University, 1983.

2. Vilenkin N.Ya. dan analisis Aljabar dan matematika lainnya. 11 sel – M.: Pencerahan, 1993.

3. Gaidukov I.I. Nilai mutlak. - M .: Pendidikan, 1968.

4. Galitsky M.L. dan lain-lain Kumpulan soal aljabar 8 - 9 sel. – M.: Pencerahan, 1995.

5.V.M. dan lain-lain Kumpulan soal-soal kompetitif dalam matematika.- M .: Education, 1983.

6. Gorshtein P.I. dll. Tugas dengan parameter. - M .: Ileksa, Kharkov: Gimnasium, 2003.

7. Kolesnikova S.I. Matematika. Kursus persiapan intensif untuk Negara Bersatu

Ujian. Moskow: Iris-press, 2004.

8. Merzlyak A.G. dll. Simulator aljabar. – M.: Ileksa, 2001.

9.Mordkovich A.G. Aljabar. 8 sel – M.: Mnemosyne, 2000.

10. Neshkov K.I. dan lain-lain.Set. Hubungan. Angka. Nilai. – M.: Pencerahan, 1978.

11. Nikolskaya I.L. Kursus opsional dalam matematika. – M.: Pencerahan, 1995.

12. Olechnik S.N. dll. Persamaan dan pertidaksamaan. Metode solusi non-standar. 10 - 11 sel. -

M.: Bustard, 1995.

13. Sharygin I.F. Kursus opsional dalam matematika 10 - 11 sel. – M.: Pencerahan, 1989.

14. Buku teks elektronik "Aljabar 7 - 11".

15. Yastrebinetsky G.A. Tugas dengan parameter. – M.: Pencerahan, 1986.

Tema karya kreatif

Penerapan modul dalam mekanika dan aljabar vektor.
Modul dalam definisi batas.
Kesalahan.
Draf memo aturan dan algoritme untuk membuat grafik persamaan (termasuk fungsi), yang ekspresi analitiknya berisi tanda modulus.
Membuat game "Lotto Matematika" dengan topik "Grafik persamaan, yang ekspresi analitiknya berisi tanda modul."
Proyek sinyal referensi sesuai dengan metode penyelesaian persamaan dan ketidaksetaraan dengan modul.
Fungsi paling sederhana, didefinisikan secara eksplisit dan implisit, yang ekspresi analitiknya berisi tanda modulus, dan grafiknya.

Tugas untuk membuat grafik fungsi "modul" dan tugas dengan parameter secara tradisional merupakan salah satu topik tersulit dalam matematika, oleh karena itu selalu dimasukkan dalam tugas GIA tingkat tinggi dan Ujian Negara Bersatu.

Konsep "modulus" dipelajari di sekolah dari kelas 6, dan pada tingkat hanya definisi dan perhitungan, terlepas dari kenyataan bahwa itu banyak digunakan di banyak bagian kursus matematika sekolah, misalnya, dalam studi tentang kesalahan absolut dan relatif dari angka perkiraan; dalam geometri dan fisika, konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor) akan dipelajari. Konsep modul digunakan dalam mata kuliah matematika, fisika, dan ilmu teknik yang dipelajari di lembaga pendidikan tinggi.

Lulusan menghadapi masalah - untuk berhasil lulus GIA di kelas 9, dan kemudian Ujian Negara Bersatu.

Tahun ini, dalam pelajaran matematika, kami mengenal konsep fungsi linier dan belajar cara membuat grafiknya. Terlihat bahwa grafik miliknya ini diambil sebagai dasar untuk membangun fungsi "modul". Selain itu, guru mengatakan bahwa ada persamaan dengan satu dan beberapa modul. Saya memutuskan untuk mempelajari topik ini lebih dalam, terutama karena akan berguna bagi saya saat lulus ujian.

Tema "Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut"

tujuan kerja: studi tentang kemungkinan konstruksi rasional grafik dengan modul untuk menyelesaikan persamaan yang berisi modul dan parameter

Mempelajari teori metode penyelesaian persamaan dengan modulus.

Belajar memecahkan persamaan derajat 1, yang mengandung tanda nilai absolut.

Mengklasifikasikan metode grafis untuk memecahkan persamaan.

Untuk menganalisis kelebihan dan kekurangan berbagai metode untuk membuat grafik fungsi "modul".

Cari tahu apa itu parameter

Terapkan metode rasional untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter

Objek - metode untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus

Metode grafis subjek untuk memecahkan persamaan

Metode penelitian: teoretis dan praktis:

teoretis - adalah studi literatur tentang topik penelitian; Internet - informasi;

praktis - ini adalah analisis informasi yang diperoleh dalam studi literatur, hasil diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dengan modulus dengan berbagai cara;

perbandingan metode untuk menyelesaikan persamaan adalah subjek rasionalitas penggunaannya dalam menyelesaikan berbagai persamaan dengan modulus.

Konsep dan definisi

1.1 Konsep "modulus" banyak digunakan di banyak bagian kursus matematika sekolah, misalnya, dalam studi kesalahan absolut dan relatif dari angka perkiraan; dalam geometri dan fisika, konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor) dipelajari. Konsep modul digunakan dalam mata kuliah matematika, fisika, dan ilmu teknik yang dipelajari di lembaga pendidikan tinggi.

Kata "modul" berasal dari kata Latin "modulus", yang berarti "ukuran" dalam terjemahannya. Kata ini memiliki banyak arti dan digunakan tidak hanya dalam matematika, fisika, dan teknologi, tetapi juga dalam arsitektur, pemrograman, dan ilmu eksakta lainnya, diyakini bahwa istilah tersebut dikemukakan oleh Kots, seorang murid Newton. Tanda modul diperkenalkan pada abad ke-19 oleh Weierstrass.

Dalam arsitektur, modul adalah unit pengukuran awal yang ditetapkan untuk struktur arsitektur tertentu. Dalam teknik, ini adalah istilah yang digunakan di berbagai bidang teknologi untuk menunjukkan berbagai koefisien dan besaran, misalnya modulus elastisitas, modulus keterlibatan Dalam matematika, modul memiliki beberapa arti, tetapi saya akan memperlakukannya sebagai nilai absolut dari sebuah angka.

Definisi : Modulus (nilai absolut) dari bilangan real sebuah nomor itu sendiri disebut jika sebuah≥0, atau angka kebalikannya - sebuah, jika dan modulus nol adalah nol.

Modulus adalah jarak pada garis koordinat dari nol ke suatu titik.

1.2. Persamaan dengan modulus adalah persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda nilai absolut (di bawah tanda modulus). Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akar. Metode untuk menyelesaikan persamaan dengan modul:

1. Menurut definisi modul - "penghapusan modul". Keputusan didasarkan pada definisi.

2. Metode analitik - menyelesaikan persamaan menggunakan transformasi ekspresi yang termasuk dalam properti persamaan dan modul.

3.Metode interval: perluasan modul pada interval dan setengah interval yang dibentuk oleh "nol" modul.

4. Metode grafis. Inti dari metode ini adalah membuat grafik dari fungsi-fungsi ini yang mewakili sisi kiri dan kanan persamaan. Jika grafik berpotongan, maka absis dari titik perpotongan grafik ini akan menjadi akar dari persamaan ini.

1.3.Metode untuk memplot grafik fungsi dengan modul

1.3.1. A-priori. Dua baris dibangun y=kx+b, di mana x>0, y=-kx+b, di mana x

1.3.2 Metode simetri. Grafik dibangun y \u003d kx + v, untuk x> 0. Bagian dari garis lurus di x

1.3.3 Konversi fungsi:

a) y=|x |+n grafik digeser ke atas sumbu y dengan satuan

b) y=|x |-n grafik digeser ke bawah sepanjang sumbu y

c) y=|x + n | grafik digeser ke kiri sepanjang sumbu absis

d)y=|x -n | grafik bergeser ke kanan sepanjang sumbu x

1.3.4. metode interval. Garis koordinat dibagi menjadi interval dan setengah interval dengan moduli nol. Selanjutnya, dengan menggunakan definisi modul, untuk setiap area yang ditemukan, kami memperoleh persamaan yang harus diselesaikan pada interval tertentu dan mendapatkan fungsinya.

1.3.5. Metode perluasan area nol. Jika ada beberapa modul, akan lebih mudah untuk tidak memperluas modul, tetapi menggunakan pernyataan berikut: jumlah aljabar modul n ekspresi linier adalah fungsi linier sepotong-sepotong, yang grafiknya terdiri dari n+1 segmen garis lurus.

Kemudian grafik dapat dibangun sesuai dengan n+2 poin, n di antaranya adalah akar ekspresi intra-modul, yang lain adalah titik arbitrer dengan absis yang lebih kecil dari yang lebih kecil dari akar ini, dan yang terakhir adalah dengan absis yang lebih besar dari akar yang lebih besar.

1.4. Kami memiliki persamaan kapak+b=c. Dalam persamaan ini X- tidak dikenal a,b,c adalah koefisien yang dapat mengambil berbagai nilai numerik. Koefisien yang didefinisikan dengan cara ini disebut parameter. Satu persamaan dengan parameter menentukan satu set persamaan (untuk semua kemungkinan nilai parameter).

ini semua adalah persamaan yang mendefinisikan persamaan dengan parameter kapak+b=c.

Memecahkan persamaan dengan parameter berarti:

Tunjukkan untuk nilai parameter apa persamaan memiliki akar dan berapa banyak dari mereka untuk nilai parameter yang berbeda.

Temukan semua ekspresi untuk akar dan tunjukkan untuk masing-masingnya nilai parameter yang ekspresi ini menentukan akar persamaan.

1.5.Temuan:

Dengan demikian, ada berbagai metode untuk membuat grafik dengan modul yang perlu diselidiki untuk kemungkinan aplikasi rasionalnya.

Analisis metode untuk membuat grafik fungsi yang berisi modul dan aplikasi

3.Metode interval

4.Analitik

3. Modul bersarang

|||x n| m||= a

1.Dengan definisi modul

2.Grafis

Kesimpulan: dengan demikian, klasifikasi persamaan memberi kita metode umum untuk menyelesaikan semua jenis persamaan - ini menurut definisi adalah modul dan metode grafis.

2.2.Analisis Grafik.

2.2.1. Tipe 1. Konstruksi y=|x |

2.2.1.1.A-priori.

1. Kami membuat garis lurus y \u003d x

2. Pilih bagian garis lurus di x 0

3. Kami membuat garis lurus y \u003d -x

4. Pilih bagian garis lurus di x

2.2.1.2. metode simetri

1. Kami membuat garis lurus y \u003d x

2. Kami membangun simetri tentang sumbu absis di x

5. Pilih bagian garis pada interval

2.2.2.2.Metode Perluasan Area Nol

1. Nol: 3 dan 1; area yang diperluas: 2,4,0

2. Hitung nilai pada : 3,1,2,4,0 adalah : -2, -2, -2, 0, 0

3. Susunlah titik-titik tersebut dengan koordinatnya dan hubungkan

Kesimpulan: Metode memperluas area nol lebih rasional

2.2.3. Ketik 3. Modul bersarang - "matryoshka"

Dan kita selidiki konstruksi y=||x|-1|

2.2.3.1.Dengan definisi modul

Menurut definisi modul utama, kami memiliki:

1) x>0 y=|x|-1

2. "Hapus" modul berikut:

Modul: y=x-1, x>0 dan y=-x+1 x

y=-x+1 x>0 y=x-1 x

3. Kami membuat grafik

2.2.3.2 Metode simetri

1. y=|x|-1

y=x-1, simetri

2. Simetri tentang absis bagian grafik, di mana x-1

Kesimpulan: metode simetri lebih rasional.

2.2.4. Mari kita rangkum analisis hasil dalam sebuah tabel:

Pengetahuan dan kemampuan

Kekurangan

A-priori

Definisi Modul

Ketahui: bagaimana koordinat titik-titik garis lurus ditentukan

Mampu memilih bagian dari garis lurus dengan pertidaksamaan

Solusi rumit

Penerapan sejumlah besar pengetahuan

Saat "melepas" modul, Anda bisa membuat kesalahan

metode simetri

Mengetahui dan mampu menerapkan transformasi fungsi

Bangun simetri tentang sumbu absis

Metode spasi

Temukan modul nol

Tentukan interval dan setengah interval

Perluas modul

Menghitung modul

Bawa istilah seperti

Membangun garis lurus

Solusi rumit

Banyak perhitungan dan transformasi saat menghilangkan angka nol

Butuh waktu lama

Kebenaran definisi interval dan setengah interval

Metode Perluasan Area Nol

Temukan modul nol

Mampu memperluas wilayah nol

Mampu menghitung modul pada titik-titik ini

Untuk dapat membangun poin dengan koordinat mereka

Toleransi kesalahan dalam perhitungan

Metode transformasi fungsi

Ketahui algoritma konversi

Untuk dapat membangun poin dengan koordinat mereka

Mampu menghitung koordinat titik-titik

Mampu menerapkan algoritma konversi

Pengetahuan tentang algoritma transformasi grafik

Kesimpulan: menganalisis tabel, kami menyimpulkan bahwa metode simetri dan perluasan daerah nol adalah yang paling rasional, karena berisi tindakan paling sedikit untuk dibuat, yang berarti menghemat waktu.

2.3.Aplikasi metode rasional untuk membangun grafik untuk memecahkan persamaan dengan modulus dan parameter

2.3.1. Selesaikan persamaan:

Kami membangun y =

dan y=0,5-x

2. Area yang diperluas: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Kami menggambar segmen dan sinar

2.3.2. GUNAKAN 2009 Temukan semua nilai a, yang masing-masing memiliki persamaan

, memiliki tepat 1 akar. a = 7. Selama pekerjaan selesai, kami dapat mempelajari dan menganalisis berbagai metode plotting grafik. Sebagai hasil dari analisis dan perbandingan metode pembuatan grafik, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

Terjemahan masalah aljabar ke dalam bahasa G rafikov menghindari solusi yang rumit;

Saat menyelesaikan persamaan yang berisi modulus dan parameter, metode grafis lebih visual dan relatif lebih sederhana;

Saat membuat grafik yang berisi 2 modul dan "matryoshka", metode simetri lebih praktis;

Meskipun cara grafis untuk menyelesaikan persamaan adalah perkiraan, karena akurasi tergantung pada segmen unit yang dipilih, ketebalan pensil, sudut perpotongan garis, dll., tetapi metode ini memungkinkan Anda memperkirakan jumlah akar persamaan untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter.

Mengingat salah satu tugas paling populer untuk USE dan GIA adalah persamaan dengan modul, maka hasil utama saya adalah saya dapat menyelesaikan persamaan dengan modul dan parameter secara grafis.

Bibliografi

1. Dankova I. "Pelatihan pra-profil dalam matematika", Moskow, 2006.

2. Pekerjaan ekstrakurikuler dalam matematika. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

3.Matematika. Buku teks yang diedit oleh Ant L.Ya., Moscow Bridge, 1994.

4. Matematika. Kelas 8-9: kumpulan mata kuliah pilihan. Issue-2.Author-compiler: M.E. Kozina., Volgograd: Guru, 2007

5. Yastrebinetsky G.A. Tugas dengan parameter. M, 2006

Lulusan menghadapi masalah - untuk berhasil lulus GIA di kelas 9, dan kemudian Ujian Negara Bersatu.

Tema "Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut"

tujuan kerja : studi tentang kemungkinan konstruksi rasional grafik dengan modul untuk menyelesaikan persamaan yang berisi modul dan parameter

Mempelajari teori metode penyelesaian persamaan dengan modulus.

Belajar memecahkan persamaan derajat 1, yang mengandung tanda nilai absolut.

Mengklasifikasikan metode grafis untuk memecahkan persamaan.

Untuk menganalisis kelebihan dan kekurangan berbagai metode untuk membuat grafik fungsi "modul".

Cari tahu apa itu parameter

Terapkan metode rasional untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter

Objek - metode untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus

Metode grafis subjek untuk memecahkan persamaan

Metode penelitian: teoretis dan praktis:

teoretis - adalah studi literatur tentang topik penelitian; Internet - informasi;

praktis - ini adalah analisis informasi yang diperoleh dalam studi literatur, hasil diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dengan modulus dengan berbagai cara;

perbandingan metode untuk menyelesaikan persamaan adalah subjek rasionalitas penggunaannya dalam menyelesaikan berbagai persamaan dengan modulus.

Bab I

Konsep dan definisi

Definisi : Modulus (nilai absolut) dari bilangan real sebuah nomor itu sendiri disebut jika sebuah≥0, atau angka kebalikannya - sebuah, jika sebuah<0; modulus nol adalah nol.

Modulus adalah jarak pada garis koordinat dari nol ke suatu titik.

1. Menurut definisi modul - "penghapusan modul". Keputusan didasarkan pada definisi.

2. Metode analitik - menyelesaikan persamaan menggunakan transformasi ekspresi yang termasuk dalam properti persamaan dan modul.

3.Metode interval: perluasan modul pada interval dan setengah interval yang dibentuk oleh "nol" modul.

1.3.Metode untuk memplot grafik fungsi dengan modul

1.3.1. A-priori. Dua baris dibangun y=kx+b, di mana x>0, y=-kx+b, di mana x<0

1.3.2 Metode simetri. Grafik dibangun y \u003d kx + v, untuk x> 0. Bagian dari garis lurus di x<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3 Konversi fungsi:

a) y=|x |+n grafik digeser ke atas sumbu y dengan satuan

b) y=|x |-n grafik digeser ke bawah sepanjang sumbu y

c) y=|x + n | grafik digeser ke kiri sepanjang sumbu absis

d )y=|x -n | grafik bergeser ke kanan sepanjang sumbu x

ini semua adalah persamaan yang mendefinisikan persamaan dengan parameter kapak+b=c.

Memecahkan persamaan dengan parameter berarti:

Tunjukkan untuk nilai parameter apa persamaan memiliki akar dan berapa banyak dari mereka untuk nilai parameter yang berbeda.

Temukan semua ekspresi untuk akar dan tunjukkan untuk masing-masingnya nilai parameter yang ekspresi ini menentukan akar persamaan.

1.5.Temuan:

Dengan demikian, ada berbagai metode untuk membuat grafik dengan modul yang perlu diselidiki untuk kemungkinan aplikasi rasionalnya.

Bab II

Analisis metode untuk membuat grafik fungsi yang berisi modul dan aplikasi

« Grafik adalah garis bicara

yang bisa memberitahumu banyak hal."

M.B.Balk

2.1. Mempelajari jenis-jenis persamaan dengan modulus, kami melihat bahwa persamaan tersebut dapat dibagi menurut jenis dan metode penyelesaiannya.

Meja. Klasifikasi jenis persamaan dan metode penyelesaiannya.

Jenis persamaan

Metode solusi

1. Persamaan dengan satu modul

|x n|=a

|x| n=a

1.Dengan definisi modul

2.Grafis

3.Analitik

2. Persamaan yang berisi 2 modul

|x n| |x m|=a

1.Dengan definisi modul

2.Grafis

3.Metode interval

4.Analitik

3. Modul bersarang

|||x n| m||= sebuah

1.Dengan definisi modul

2.Grafis

Kesimpulan: dengan demikian, klasifikasi persamaan memberi kita metode umum untuk menyelesaikan semua jenis persamaan - ini menurut definisi adalah modul dan metode grafis.

2.2.Analisis Grafik.

2.2.1. Tipe 1. Konstruksi y=|x |

2.2.1.1.A-priori.

1. Kami membuat garis lurus y \u003d x

2. Pilih bagian garis lurus di x 0

3. Kami membuat garis lurus y \u003d -x

4. Pilih bagian garis lurus di x<0

2.2.1.2. metode simetri

1. Kami membuat garis lurus y \u003d x

2. Kami membangun simetri tentang sumbu absis di x<0

2.2.1.3. Konstruksi y=|x -2|

1. Kami membangun garis lurus y \u003d x-2

2. Pilih bagian garis lurus di x-2 0

3. Kami membangun garis lurus y \u003d -x + 2

4. Pilih bagian garis pada x-2<0

Kesimpulan: metode simetri lebih rasional

2.2.2. Tipe 2.

Tugas: buat grafik y \u003d

2.2.2.1.Metode spasi

1. pada
kita mendapatkan y=-x+3+1-x-4 ; y = -2x

2. pada
dapatkan=-x+3-1+x-4; y = -2

3. pada
kita mendapatkan y=x-3-1+x-4; y = 2x-8

4. Kami membangun semua garis lurus.

5. Pilih bagian garis pada interval

2.2.2.2.Metode Perluasan Area Nol

1. Nol: 3 dan 1; area yang diperluas: 2,4,0

2. Hitung nilai pada : 3,1,2,4,0 adalah : -2, -2, -2, 0, 0

3. Susunlah titik-titik tersebut dengan koordinatnya dan hubungkan

Kesimpulan: Metode memperluas area nol lebih rasional

2.2.3. Ketik 3. Modul bersarang - "matryoshka"

Dan kita selidiki konstruksi y=||x|-1|

2.2.3.1.Dengan definisi modul

Menurut definisi modul utama, kami memiliki:

1) x>0 y=|x|-1

2) x<0 у=-|х|+1

2. "Hapus" modul berikut:

Modul: y=x-1, x>0 dan y=-x+1 x<0

y=-x+1 x>0 y=x-1 x<0

3. Kami membuat grafik

2.2.3.2 Metode simetri

1. y=|x|-1
y=x-1, simetri

2. Simetri tentang absis bagian grafik, di mana x-1<0

Kesimpulan: metode simetri lebih rasional.

2.2.4. Mari kita rangkum analisis hasil dalam sebuah tabel:

Pengetahuan dan kemampuan

Kekurangan

A-priori

Definisi Modul

Ketahui: bagaimana koordinat titik-titik garis lurus ditentukan

Mampu memilih bagian dari garis lurus dengan pertidaksamaan

Solusi rumit

Penerapan sejumlah besar pengetahuan

Saat "melepas" modul, Anda bisa membuat kesalahan

metode simetri

Mengetahui dan mampu menerapkan transformasi fungsi

Bangun simetri tentang sumbu absis

Pengetahuan tentang algoritma transformasi grafik

Metode spasi

Temukan modul nol

Tentukan interval dan setengah interval

Perluas modul

Menghitung modul

Bawa istilah seperti

Untuk dapat membangun poin dengan koordinat mereka

Membangun garis lurus

Solusi rumit

Banyak perhitungan dan transformasi saat menghilangkan angka nol

Butuh waktu lama

Kebenaran definisi interval dan setengah interval

Metode Perluasan Area Nol

Temukan modul nol

Mampu memperluas wilayah nol

Mampu menghitung modul pada titik-titik ini

Untuk dapat membangun poin dengan koordinat mereka

Toleransi kesalahan dalam perhitungan

Metode transformasi fungsi

Ketahui algoritma konversi

Untuk dapat membangun poin dengan koordinat mereka

Mampu menghitung koordinat titik-titik

Mampu menerapkan algoritma konversi

Pengetahuan tentang algoritma transformasi grafik

2.3.Aplikasi metode rasional untuk membangun grafik untuk memecahkan persamaan dengan modulus dan parameter

2.3.1. Selesaikan persamaan:

Kami membangun y =
dan y=0,5-x

2. Area yang diperluas: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Kami menggambar segmen dan sinar

2.3.2. GUNAKAN 2009 Temukan semua nilai a, yang masing-masing memiliki persamaan
, memiliki tepat 1 akar. a = 7. Selama pekerjaan selesai, kami dapat mempelajari dan menganalisis berbagai metode plotting grafik. Sebagai hasil dari analisis dan perbandingan metode pembuatan grafik, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

Terjemahan masalah aljabar ke dalam bahasa G rafikov menghindari solusi yang rumit;

Saat menyelesaikan persamaan yang berisi modulus dan parameter, metode grafis lebih visual dan relatif lebih sederhana;

Saat membuat grafik yang berisi 2 modul dan "matryoshka", metode simetri lebih praktis;

Mengingat salah satu tugas paling populer untuk USE dan GIA adalah persamaan dengan modul, maka hasil utama saya adalah saya dapat menyelesaikan persamaan dengan modul dan parameter secara grafis.

Bibliografi

1. Dankova I. "Pelatihan pra-profil dalam matematika", Moskow, 2006.

2. Pekerjaan ekstrakurikuler dalam matematika. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

3.Matematika. Buku teks yang diedit oleh Ant L.Ya., Moscow Bridge, 1994.

4. Matematika. Kelas 8-9: kumpulan mata kuliah pilihan. Issue-2.Author-compiler: M.E. Kozina., Volgograd: Guru, 2007

5. Yastrebinetsky G.A. Tugas dengan parameter. M, 2006

Tujuan Pelajaran:

pendidikan:

pengulangan berbagai cara penyelesaian persamaan yang mengandung tanda modulus;
memecahkan persamaan dengan berbagai cara;
memecahkan persamaan yang ditawarkan pada ujian masuk di Moscow State University;
solusi persamaan yang mengandung tanda modulus dan parameter;

pendidikan:

pengembangan perhatian;
pengembangan kemampuan menuliskan solusi dengan benar dan jelas;
pengembangan kemampuan mendengarkan penjelasan teman sekelas;
pengembangan kemampuan untuk memeriksa keputusan sendiri;

mengembangkan:

pengembangan kemampuan untuk menemukan cara pemecahan yang paling rasional;
pengembangan pemikiran matematis;
pengembangan kemampuan untuk membenarkan keputusan seseorang;
pengembangan kemampuan untuk menggeneralisasi pengetahuan yang diperoleh;
pengembangan kemampuan memecahkan persamaan dengan parameter;

Peralatan:

papan tulis;
handout dengan kondisi tugas untuk bekerja dalam kelompok;
komputer;
proyektor;
layar.

Pengetahuan, keterampilan, kemampuan.

Sebagai hasil pembelajaran, siswa harus mengulang teknik dasar penyelesaian persamaan yang mengandung tanda modul, mempelajari cara menyelesaikan persamaan sejenis pada tingkat ujian akhir sekolah dan kompetitif, belajar memahami dan mampu menemukan penyelesaian persamaan yang mengandung sebuah parameter.

SELAMA KELAS

1) Ulangi definisi modulus angka dan cara mengembangkannya tergantung pada tanda argumen.

2) Ulangi metode utama untuk menyelesaikan persamaan yang berisi modul ekspresi:

a) menyelesaikan persamaan dengan membuka modul secara eksternal;

b) menyelesaikan persamaan dengan membuka modul dari dalam;

c) solusi persamaan yang mengandung modul dengan metode perubahan variabel;

d) solusi persamaan yang mengandung beberapa modul;

e) solusi persamaan yang berisi modul dan parameter secara bersamaan.

3) Memecahkan persamaan dengan berbagai metode (bekerja dalam kelompok).

4) Memecahkan persamaan ujian kompetitif (menggunakan komputer).

5) Memecahkan persamaan yang berisi modul dan parameter secara bersamaan (menggunakan papan tulis, komputer dan proyektor).

6) Menyimpulkan pelajaran, memberi nilai.

Bahan untuk pelajaran:

1. Untuk setiap persamaan yang ditunjukkan, pilih metode solusi dan selesaikan (solusi di papan tulis dan di buku catatan).

a) | 5 - 4x | = 1

b) | 6x2 _ 5x + 1 | = 5x - 6x2 - 1

c) x2 + 3|x+1| - 1 = 0

d) | x - 2| + |x + 4| = 8

e) 2|x + 2| + 3 = (x + 2)2

Jawaban: a) 1; 1,5; b) ; dalam 1; d) -5; 3; e) -5; satu.

2. Bekerja dalam kelompok (setiap kelompok menerima amplop dengan tugas dan kartu untuk menilai dan menilai sendiri pekerjaan yang dilakukan).

Jenis kartu peringkat. (Lampiran 2)

Kriteria evaluasi:

"5" - menyelesaikan 5 persamaan dengan berbagai cara secara mandiri;

“4” - menyelesaikan 5 persamaan dengan cara yang berbeda dan menerima satu konsultasi dari anggota kelompok;

"3" - menyelesaikan 5 persamaan dengan cara berbeda dan menerima dua atau tiga konsultasi dari anggota kelompok;

"2" - mengalami kesulitan dalam memecahkan persamaan dan terus berkonsultasi dengan anggota kelompok;

Nilai ditetapkan oleh kelompok setelah diskusi dan oleh siswa sendiri, nilai akhir ditetapkan oleh guru.

KARTU #1

a) | 3x-3 | = 6;

b) | x 2 - 3x - 10 | \u003d 3x - x 2 + 10;

c) 1/|x| + 1/(x + 1) = 2;

d) | x 2 - 9 | + | x - 2| = 5;

e) | x - 1| + | x - 2| + | x - 3| = x.

KARTU #2

a) | 3-2x | = 4;

b) | x 2 - 3x + 2 | \u003d 3x - x 2 - 2;

c) 2/|x - 1| + 4/(x + 3) = 3;

d) | x 2 - 8x | - 9 = 0;

e) | x - 3 | + | x + 2 | - | x - 4 | = 3.

KARTU #3

a) | 5x-4 | = 6;

b) x 2 + 2| x - 1 | - 1 = 0;

c) | x 2 - 2x | - 3 = 0;

d) (x - 3,5) 2 + 2| x - 3,5 | = 1,25;

e) | x + 2 | - | x - 3 | + | x - 1 | = 1.

3. Memecahkan persamaan ujian kompetitif.

a) Selesaikan persamaan: |||| x -3 | - 1 | + 2 | - 3| = 1

Mari buka modul dengan cara eksternal, kita mendapatkan satu set dua persamaan:

||| x - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = 1 dan ||| x - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = -1, transformasi yang kita dapatkan:

||| x-3 | - 1 | + 2 | = 4 dan ||| x - 3 | - 1 | + 2 | = 2.

Mari kita buka lagi modul secara eksternal, kita mendapatkan empat persamaan:

|| x - 3 | - 1 | + 2 = 4; || x - 3 | - 1 | + 2 = -4; || x - 3 | - 1 | + 2 = 2 dan

|| x - 3 | - 1 | + 2 = -2.

Kami kembali mengubah persamaan yang diperoleh:

|| x - 3 | - 1 | = 2; || x - 3 | - 1 | = -6; || x-3 | - 1 | = 0 dan || x - 3 | - 1 | = -4.

Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan kedua dan keempat yang diperoleh tidak memiliki solusi, karena modulus tidak dapat mengambil nilai negatif.

Perluasan modul lebih lanjut mengarah pada jawaban: x = 0; 2; 4; 6.

b) Sebagai tugas rumah, diusulkan untuk menyelesaikan persamaan berikut:

|| x - 2 | - 4 | = 3;

|||| x + 1| - 5 | + 1| - 2 | = 2;

|||| x + 3| - 2 | + 1 | - 3| = 3;

|| 2x - 7 | - x | = 7 - x;

|| x - 1 | - x - 3 | + x = 4;

|| 2x - 1 | - x - 3 | = 4 - x.

4. Solusi persamaan dengan parameter.

Diusulkan untuk menentukan jumlah akar persamaan tergantung pada nilai parameter sebuah dan selesaikan persamaan ini dengan dua cara: analitis dan grafis:

| x 2 - 2x - 3 | = sebuah.

a) Cara grafis untuk menyelesaikan persamaan:

Untuk menyelesaikan persamaan ini, perlu dibuat grafik dari fungsi-fungsi berikut: y 1 = |x 2 - 2x - 3| dan y 2 = sebuah. Grafik fungsi pertama adalah parabola, di mana luas nilai negatif fungsi dipetakan ke luas nilai positif variabel pada tentang sumbu X. Grafik fungsi kedua berupa garis lurus sejajar sumbu X.

Sangat mudah untuk melihat bahwa ketika sebuah‹0 grafik yang dihasilkan tidak berpotongan, yang menunjukkan tidak adanya solusi untuk persamaan ini. Pada a = 0kami memiliki dua titik persimpangan grafik, dan akibatnya, dua solusi: x = -1 dan x = 3. Pada 0 Ada empat titik perpotongan grafik, dan solusinya terlihat seperti:

Pada a = Ada tiga solusi: x 1 \u003d 1 - 22 dan x 2 \u003d 1 + 22, dan x 3 \u003d x 4 \u003d 1.

Pada sebuah›4 solusi, serta titik potong grafik, hanya ada dua:

b) Cara analitis untuk menyelesaikan persamaan:

Kesimpulan pertama dapat segera ditarik: sebuah> 0, karena modulus tidak dapat mengambil nilai negatif. Jadi, pada a‹0 tidak ada solusi. Pada sebuah\u003d 0 kita selesaikan persamaan kuadrat: x 2 - 2x - 3 \u003d 0, solusinya adalah x 1 \u003d -1 dan x 2 \u003d 3. Kapan sebuah›0 kami menyelesaikan dua persamaan secara terpisah:

x 2 - 2x - 3 = sebuah(1) dan x 2 - 2x - 3 = - sebuah (2).

Persamaan (1) memiliki dua solusi untuk setiap nilai parameter a> 0. Persamaan (2) memiliki dua solusi hanya untuk 0‹ sebuah‹4, untuk nilai parameter ini, diskriminan persamaan kuadrat (2) adalah positif, dan akar persamaannya mirip dengan x 3 dan x 4 yang ditemukan dalam solusi grafis. Pada sebuah= 4 diskriminan persamaan (2) sama dengan 0, penyelesaian persamaan (2) sama dan sama dengan 1.

Sebagai hasil penyelesaian dengan cara apa pun, jawaban berikut diterima:

Pada sebuah‹0 tidak ada solusi;

Pada sebuah= 0x = -1; 3.

Pada 0 4:

Pada a = 4: x 1 \u003d 1 - 22 dan x 2 \u003d 1 + 22, dan x 3 \u003d x 4 \u003d 1.

Pada sebuah>4:

c) Sebagai tugas rumah, diusulkan untuk menentukan jumlah akar persamaan tergantung pada nilai parameter a:

1) | 5 + 2x - x 2 | = sebuah; 2) x 2 - 6|x| +5= sebuah; 3) x 2 - 3|x| = sebuah.

5. Menyimpulkan pelajaran, memberi nilai.

Definisi modul n Modul (nilai absolut) dari bilangan real x, yaitu | x|, bilangan ini sendiri disebut jika bukan negatif, dan bilangan ini diambil dengan tanda kebalikannya jika negatif

1. Properti modul 1. | a b | = | sebuah | | b | untuk setiap nomor a dan b 2. | |= 3. untuk pada ≠ 0 | a |2= a 2 untuk sembarang bilangan a

n n 2. Persamaan paling sederhana yang mengandung modul adalah persamaan bentuk | f(x) | = a, dimana, a ≥ 0. Persamaan ini ekuivalen dengan sekumpulan persamaan. [Jika sebuah

n n n Persamaan bentuk | f(x) | = g(x), di mana f(x), g(x) adalah beberapa fungsi dari variabel riil x. 1) Untuk g(x) 0, persamaan aslinya setara dengan himpunan Γ f(x) = g(x), Lf(x) = -g(x).

Contoh 2. Selesaikan persamaan | 1 – 2 x | = 3 x - 2 n Solusi: Perhatikan bahwa Zx 2≥ 0, yaitu x ≥ atau x є (; +∞) Pada himpunan x є (; + ∞), persamaan yang diberikan setara dengan kombinasi dua persamaan: 1 ) 2 x \u003d 3x-2 X 1 \u003d 2) 1 2 x \u003d (3x 2) X 2 \u003d 1 n Sejak

n n Sekarang perhatikan persamaan bentuk | dan 1 x – dalam 1|+ | dan 2 x - dalam 2 | + … + | anx – vn | \u003d ax + b, dimana a 1, a 2, a 3, ..., an, in 1, in 2, in 3 adalah beberapa bilangan milik R, x adalah variabel real yang dibangun menurut skema berikut. Kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel persamaan yang diberikan dibagi menjadi beberapa set, yang masing-masing tanda ekspresi submodulnya konstan. Pada setiap himpunan tersebut, persamaan asli diganti (dengan mempertimbangkan tanda-tanda ekspresi submodul) dengan persamaan ekuivalen yang tidak mengandung nilai absolut. Gabungan solusi dari himpunan persamaan yang diperoleh adalah solusi dari persamaan yang diberikan.

Contoh 3. Selesaikan persamaan | 2x+5 | | 3x | = 0,5 n n n Solusi. Kisaran nilai variabel yang diizinkan adalah seluruh sumbu numerik. Mari kita temukan titik di mana ekspresi submodul sama dengan 0: 2 x+5=0, yaitu x1= 2, 5; 3 x=0, yaitu x2 = 3.

n n n n n ∞; 2, 5) (2, 5; 3) (З; + ∞) 2 х + 5 + + 3–х + + Jadi, persamaan aslinya | 2x+5 | | 3x | \u003d 0,5 setara dengan sekumpulan persamaan: 1) x

n 2) pada 2,5 ≤ x

3. Sekarang mari kita pertimbangkan beberapa pernyataan, yang penerapannya memungkinkan kita menyederhanakan solusi persamaan dengan modul secara signifikan. n n n Pernyataan 1. Kesetaraan | a+b | = | sebuah | + | di | benar jika av ≥ 0. Bukti. Memang, setelah mengkuadratkan kedua bagian persamaan ini, kita mendapatkan | a+b |2 = |a|2 + 2|av | + |in|2 a 2 + 2 av + in 2 = a 2 + 2|av |+ in 2 , dari mana | av | = av Dan persamaan terakhir akan benar untuk av ≥ 0. Pernyataan 2. Persamaan | a-c | = | sebuah | + | di | benar untuk av ≤ 0. Bukti. Buktinya cukup persamaan | a+b | = | sebuah | + | di | ganti v dengan -v, lalu a(-v) ≥ 0, dimana av ≤ 0

n n Pernyataan 3. Kesetaraan | sebuah | + | di | = a + b berlaku untuk a ≥ 0 dan b ≥ 0. Bukti. Setelah mempertimbangkan empat kasus a ≥ 0 dan ≥ 0; a ≥ 0 dan

Contoh 4. Selesaikan persamaan: | 2x2| = |x3 2 | + | 2xx3 | n n n Solusi: Sejak |х3 2 | + | 2xx3 | = |x3 2 + 2 x x3 |, maka semua akar persamaan tersebut merupakan salah satu penyelesaian dari pertidaksamaan (x3 2)(2 x - x3) ≥ 0 (pernyataan 1). Mari kita selesaikan pertidaksamaan ini dengan metode interval; x(x3 - 2)(x2 - 2)≥ 0 x(x3 - 2)(x +)≤ 0 + + + 0 x Jawab: [ ; 0]U[ ; ]

4. Dalam contoh lain, seseorang tidak boleh terburu-buru dengan pengungkapan modul, pertama-tama seseorang harus mempertimbangkan ekspresi secara keseluruhan Contoh 7. Selesaikan persamaan: n Dalam "keseluruhan" produk dari dua pecahan bisa sama ke 1 hanya dalam tiga kasus: n a) jika pecahan saling terbalik , yaitu x+1= x+2 dan | x+1| = | x+2|, tetapi ini tidak mungkin untuk x apa pun. n b) jika masing-masing sama dengan 1, maka kita dapatkan dan. Dari persamaan pertama berikut x+1>0 x > 1. Dari persamaan kedua kita dapatkan x+2>0 x> 2. Solusi umum: x> 1. c) jika masing-masing sama dengan 1, maka kita dapatkan kamu Dari persamaan pertama berikut x + 1

nn

Saat ini, pada ujian akhir mata pelajaran sekolah menengah dan pada ujian masuk ke berbagai lembaga pendidikan, ditawarkan persamaan dengan modul dan parameter yang solusinya seringkali menimbulkan kesulitan bagi siswa. Pertimbangkan solusi dari berbagai jenis persamaan, fitur pemersatu yang hanya akan adanya tanda nilai absolut.
Unduh:

Pratinjau:
Solusi persamaan yang mengandung tanda modulus (nilai absolut)
Saat ini, pada ujian akhir mata pelajaran sekolah menengah dan pada ujian masuk ke berbagai lembaga pendidikan, ditawarkan persamaan dengan modul dan parameter yang solusinya seringkali menimbulkan kesulitan bagi siswa. Pertimbangkan solusi dari berbagai jenis persamaan, fitur pemersatu yang hanya akan adanya tanda nilai absolut.
Menurut definisi, modul (nilai absolut) dari bilangan real a (dilambangkan dengan |a|) nomor itu sendiri disebut jika a≥0 , dan bilangan lawannya-a jika a
, untuk a≥0 dan , untuk a
Secara geometris |a| berarti jarak pada garis koordinat dari titik yang mewakili angka sebuah sebelum dimulainya hitungan mundur. Modulus nol adalah nol, dan jika a≠0 , maka terdapat dua titik pada garis koordinat tersebut a dan -a , berjarak sama dari nol, yang modulnya sama|a|=|-a|.
Sebelum melanjutkan ke studi tentang metode penyelesaian persamaan yang mengandung tanda nilai absolut, perlu untuk mencapai pemahaman yang jelas tentang efek tanda ini pada angka. Pada dasarnya, definisi modul memperkenalkan operasi unary baru pada himpunan bilangan real, yaitu operasi yang dilakukan pada satu nomor, sebagai lawan dari operasi biner penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang lebih dikenal. Anda dapat memeriksa pemahaman yang benar tentang tanda modul pada latihan jenis berikut.
1. Apa bedanya?
2. Berapa jumlahnya?
3. Berapa pecahannya?
4. Apakah pernyataan itu benar: jika, lalu a=b?
5. Apakah pernyataan itu benar: jika a=b , lalu ?
6. Pada nilai apa X persamaan benar:
sebuah). x = |x|; b). –x = |-x|; di). –x = |x|?
7. Apakah persamaan tersebut memiliki akar dan jika demikian, berapa banyak:
sebuah). |x|=0 ; b). |x|=1; di). |x|=-3; G ). |-x|=2; e). |x|=1,2?
8. Tuliskan ungkapan tanpa tanda nilai mutlak:
sebuah). |x+2|; b). |x+2|+x; di). -2|x+2|-x; G). |2-x|;
e). -2|2-x|+2-x; e). |x-|x||; dan). |x+2|x||+2x.
Tugas 3.1, Bisakah kesetaraan itu benar?
Dan jika demikian, kapan?
Seringkali ada jawaban seperti itu: "Persamaan ini berlaku jika angka a dan b memiliki tanda yang berbeda." Jawabannya tidak lengkap, karena tidak mengatakan apa-apa tentang kasus ketika salah satu dari angka-angka ini menjadi nol. Kesalahan umum terjadi di sini, yaitu ketidaklengkapan klasifikasi. Dalam hal ini, perlu diingat bahwa selain bilangan positif dan negatif, juga terdapat nol.Jawaban yang benar: pada .
Mari kita pertimbangkan beberapa kasus persamaan khusus dengan modulus.
1. Solusi persamaan.
Menurut definisi nilai absolut, persamaan ini dipecah menjadi satu set dari dua sistem campuran:
F(x)=a f(-x)=a
Sejak fungsi genap, maka akarnya akan berpasangan dengan bilangan yang berlawanan, yaitu jika α adalah akar persamaan, maka -α juga akan menjadi akar persamaan ini. Oleh karena itu, cukup untuk menyelesaikan hanya satu dari dua sistem ini.
Contoh 1 . memecahkan persamaan 2|x|-4,5-0,5|x|=7,5.
Persamaan ini cukup sederhana, dan untuk saat ini tidak masuk akal untuk menuliskannya dalam bentuk dua sistem, tetapi Anda cukup membawa yang serupa dan berkumpul kembali: 1,5|x|=12 → |x|=8 → x 1 = -8, x 2 =8.
Contoh 2 . memecahkan persamaan x 2 -|x|=6.
Seperti disebutkan di atas, persamaan terbagi menjadi dua sistem, tetapi karena kemerataan fungsinya, hanya satu sistem yang dapat diselesaikan, mengingat untuk menjumlahkan nilai tanda yang berlawanan dengan solusi yang diperoleh.
X 2 -x-6 \u003d 0, x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 3
X≥0 x≥0
Solusi dari sistem akan menjadi nilai x=3 , dan solusi dari persamaan ini memiliki dua nilai: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.
Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu secara grafis, untuk nilai non-negatif X memplot sebuah fungsi y 1 = f(x) , refleksikan secara simetris terhadap sumbu OU ke area nilai negatif X lalu buat grafik fungsinya y 2 = a . Solusinya adalah absis dari titik-titik persimpangan grafik pada 1 dan pada 2.
2. Solusi persamaan bentuk.
Solusi dari persamaan semacam itu terurai menjadi satu set dari dua sistem campuran:
F(x)=φ(x) f(x)= - φ(x)
φ(x) φ(x)
3. Solusi persamaan bentuk.
Kami menemukan akar binomial di bawah tanda nilai absolut:…
Biarkan x 1 2 k . Persamaan ini diselesaikan secara berurutan pada interval:(-∞, x 1 ], , …, Persamaan mengambil bentuk-x 2 +5x-6=5x-x 2 -6 dan setelah transformasi itu tidak tergantung pada x: -6=-6 . Jadi x dapat berupa interval yang dipertimbangkan.
Solusi akhir persamaan X .
Contoh 3 . memecahkan persamaan|x 2 -1|=-|x|+1
Modul pertama memberikan dua poin karakteristik x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 1 , titik modul kedua x=0 . Kisaran nilai yang dapat diterima dibagi menjadi empat interval(-∞; -1) [-1; 0] (0; 1] (1;+ ∞) , di mana kita masing-masing harus membuka modul, dengan hati-hati melihat tanda ekspresi berdiri.
sebuah). x (-∞; -1): x 2 -1=x+1, x 2 -x-2=0 . Akar persamaan ini x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 2 tidak termasuk dalam celah terbuka yang dipilih. Sebuah komentar penting perlu dibuat di sini. Saat membagi rentang nilai yang dapat diterima ke dalam interval, titik karakteristik dimasukkan ke dalam interval sesuai kebijaksanaan Anda, Anda dapat memasukkan setiap titik karakteristik ke dalam kedua interval, batas yang dilayaninya, atau hanya di salah satunya. Itu tidak akan menyebabkan kesalahan.
b). x [-1; 0]: -x 2 +1 \u003d x + 1, x 2 + x \u003d 0, x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0. Kedua akar termasuk dalam interval yang dipertimbangkan dan, oleh karena itu, merupakan solusi dari persamaan awal.
di). x (0; 1]: -x 2 +1 \u003d -x + 1, x 2 -x \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1 . Akar kedua jatuh ke dalam celah.
G). x (1;+ ∞): x 2 -1=-x+1, x 2 + x-2=0, x 1 =-2, x 2 =1 . Kedua akar tidak termasuk dalam interval.
Solusi akhir dari persamaan ini mengandung tiga akar: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1.
Dalam semua contoh persamaan dengan modul yang ditunjukkan, solusi grafis dimungkinkan, terkadang bahkan lebih cepat daripada pencacahan panjang semua interval di mana rentang nilai yang diizinkan dibagi dengan titik karakteristik.
Latihan pelatihan.
| x+5| = |10+x|

|3x+1|+x=9
|x-3|+2|x+1|=4

Apa itu tanda nilai mutlak. Kursus pilihan dalam matematika "nilai absolut". Bagian V. Sastra untuk guru

Kegiatan H 4 51-1 “Peningkatan metode pengajaran di sekolah menengah berbasis pembuatan modul berorientasi mata pelajaran pada minimal 18 mata pelajaran berbasis penerapan teknologi informasi, pengembangan ilmu pengetahuan dan pendidikan

Unduh:

Pratinjau:

Catanzaro: ibu kota Calabria yang berangin

Berbelanja di Ho Chi Minh, pasar, dan pusat perbelanjaan Apa yang harus dilihat di sekitar

Mod untuk versi 9.19 1 tentang tank. Unduh protanki modpack versi diperpanjang untuk wot. Pemandangan perakitan mod dari Protanka

Kategori

artikel Terbaru

Peralatan dan perlengkapan

Unduh skin dari Jova 0

NAVI meninggalkan World of Tanks Komposisi tim Navi ada di sini

Cara bersinar di World of Tanks: taktik dan peningkatan

Apakah mungkin untuk membakar erosi nulipara Apakah perlu untuk membakar erosi serviks nulipara

Penyebab utama erosi serviks pada wanita nulipara Anda dapat membakar erosi pada wanita nulipara

Pertempuran Pokemon untuk dua

Apa arti nama Timotius atau Tima untuk seorang anak Nama perempuan Tima lengkap

Speaker Nirkabel Xiaomi Mi Bluetooth Speaker Anda dapat mendengarkan lebih dari sekadar musik

Periklanan

Apa itu tanda nilai mutlak. Kursus pilihan dalam matematika "nilai absolut". Bagian V. Sastra untuk guru

Kegiatan H 4 51-1 “Peningkatan metode pengajaran di sekolah menengah berbasis pembuatan modul berorientasi mata pelajaran pada minimal 18 mata pelajaran berbasis penerapan teknologi informasi, pengembangan ilmu pengetahuan dan pendidikan

Unduh:

Pratinjau:

Anda mungkin tertarik:

Kategori

artikel Terbaru

Periklanan